Limita posloupnosti je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané nekonečné posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje
.
Číslo je limitou posloupnosti , jestliže pro libovolné existuje takové, že pro každé platí .
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Důkaz sporem: předpokládejme, že posloupnost má dvě limity a , přičemž , pak platí:
a
.
Označme větší z čísel a , pak pro všechna a pro libovolné platí:
a .
Tedy vzdálenost od bodu i od bodu je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.
Pokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že posloupnost má vlastní limitu , popř. že posloupnost konverguje k číslu :
- .
Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.
K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému takové přirozené číslo , že pro libovolnou dvojici indexů platí , pak je posloupnost konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.
Bodová konvergence funkční posloupnosti
editovat
Pokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že funkční posloupnost bodově konverguje v bodě k limitní funkci :
- .
Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost označíme jako bodově divergentní.
Stejnoměrná konvergence funkční posloupnosti
editovat
Pokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo takové, že pro všechna a pro všechny body platí , pak říkáme, že funkční posloupnost stejnoměrně konverguje na intervalu k limitní funkci :
- .
Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost na intervalu stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému najít takové přirozené číslo , že pro každou dvojici a každé platí .
Pokud jsou funkce na intervalu spojité a posloupnost je na stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu spojitá také limitní funkce .
Vlastnosti konvergentní posloupnosti
editovat
- Mějme dvě konvergentní posloupnosti , pro které platí . Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní:
-
-
-
-
- ,
- kde z posloupnosti jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť .
- Máme-li dvě konvergentní posloupnosti , pro které platí , pak jestliže pro každé je , pak je také .
- Máme-li dvě konvergentní posloupnosti , pro které platí , pak jestliže existuje posloupnost taková, že pro každé je , pak platí také .
- Je-li podposloupnost posloupnosti a platí , pak platí také .
- Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li omezená posloupnost v , pak z ní lze vybrat posloupnost , která je konvergentní. Tato věta je založena na axiomu výběru, proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí. Podle této věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší, tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti, což zapisujeme:
- a ,
- kde posloupnost je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud , konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.
Divergentní a oscilující posloupnosti
editovat
Říkáme, že posloupnost je