Álgebra de Lie soluble
En matemáticas, un álgebra de Lie es soluble si su serie derivada termina en la subálgebra cero. El álgebra de Lie derivada del álgebra de Lie es el subálgebra de , denotada como
que consiste en todas las combinaciones lineales de corchetes de Lie de pares de elementos de . La serie derivada es la secuencia de subálgebras:
Si la serie derivada llega finalmente a la subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se llama soluble.[1] La serie derivada para álgebras de Lie es análoga a la serie derivada del subgrupo conmutador en teoría de grupos, y las álgebras de Lie solubles son análogas a los grupos solubles.
Cualquier álgebra de Lie nilpotente es a fortiori soluble, pero lo contrario no es cierto. Las álgebras de Lie solubles y las álgebras de Lie semisimples forman dos clases numerosas y generalmente complementarias, como lo demuestra la descomposición de Levi. Las álgebras de Lie solubles son precisamente las que se pueden obtener a partir de productos semidirectos, partiendo de 0 y añadiendo una dimensión cada vez.[2]
Una subálgebra soluble máxima se llama subálgebra de Borel. El mayor ideal soluble de un álgebra de Lie se llama radical.
Caracterizaciones
editarSea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0, entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- (i) es soluble.
- (ii) , la representación adjunta de es soluble.
- (iii) Existe una sucesión finita de ideales de :
- (iv) es nilpotente.[3]
- (v) Para de dimensión , existe una sucesión de subálgebras of :
- siendo cada un ideal de .[4] Una sucesión de este tipo se denomina sucesión elemental.
- (vi) Existe una sucesión finita de subálgebras de ,
- tal que es un ideal de y es abeliana.[5]
- (vii) La forma de Killing de satisface que para todo de y de .[6] Este es el criterio de solubilidad de Cartan.
Propiedades
editarEl teorema de Lie establece que si es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, y es un álgebra de Lie soluble, y si es una representación de sobre , entonces existe un vector propio simultáneo de los endomorfismos para todos los elementos .[7]
- Toda subálgebra de Lie y el cociente de un álgebra de Lie soluble son solubles.[8].
- Dado un álgebra de Lie y un ideal en ella, es soluble si y sólo si tanto como son solubles.[8][2]
- La afirmación análoga es cierta para las álgebras de Lie nilpotentes siempre que esté contenida en el centro. Así, una extensión de un álgebra soluble por otra soluble es soluble, mientras que una extensión "central" de un álgebra nilpotente por otra nilpotente es nilpotente.
- Un álgebra de Lie no nula soluble tiene un ideal abeliano no nulo, el último término no nulo de la serie derivada.[2]
- Si son ideales resolubles, entonces también lo es .[1] En consecuencia, si es de dimensión finita, entonces hay un único ideal soluble que contiene todos los ideales solubles en . Este ideal es el radical de .[2]
- Un álgebra de Lie soluble tiene un único ideal nilpotente mayor , llamado nilradical, el conjunto de todas las tales que es nilpotente. Si es una derivación cualquiera de , entonces .[9]
Álgebras de Lie completamente solubles
editarUn álgebra de Lie se llama completamente soluble o soluble por partes si tiene una secuencia elemental de ideales en desde hasta . Un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es completamente soluble, y un álgebra de Lie completamente soluble es soluble. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, una álgebra de Lie soluble es completamente soluble. Sin embargo, sobre un cuerpo que no sea algebraicamente cerrado esto no sucede, por ejemplo, el álgebra de Lie real de tres dimensiones del grupo de isometrías euclidianas del plano es soluble, pero no completamente soluble.
Un álgebra de Lie soluble es soluble por partes si y sólo si los valores propios de están en para toda en .[2]
Ejemplos
editarÁlgebras de Lie abelianas
editarToda álgebra de Lie abeliana es resoluble por definición, ya que su conmutador . Esto incluye el álgebra de Lie de las matrices diagonales en , que son de la forma
para . La estructura del álgebra de Lie en un espacio vectorial dada por el corchete trivial para dos matrices cualesquiera es otro ejemplo de álgebra abeliana.
Álgebras de Lie nilpotentes
editarOtra clase de ejemplos proviene de las álgebras de Lie nilpotentes ya que la representación adjunta es soluble. Algunos ejemplos incluyen las matrices triangulares superiores, tales como la clase de matrices de la forma
llamada álgebra de Lie de las matrices estrictamente triangulares superiores. Además, el álgebra de Lie de las matrices diagonales superiores en forman un álgebra de Lie soluble. Esto incluye a las matrices de la forma
y se denota como .
Soluble pero no divisible
editarSea el conjunto de matrices de la forma
Entonces es soluble, pero no divisible.[2] Esta álgebra es isomorfa al álgebra de Lie del grupo de traslaciones y rotaciones en el plano.
Anti-ejemplo
editarUn álgebra de Lie semisimple nunca es soluble ya que su radical , que es el ideal soluble más grande en , es trivial.[1] página 11
Grupos de Lie solubles
editarDebido a que el término "soluble" también se usa para grupo solubles en teoría de grupos, hay varias definiciones posibles de grupo de Lie soluble Para un grupo de Lie , hay
- terminación de la serie derivada habitual del grupo (como grupo abstracto);
- terminación de las clausuras de la serie derivada;
- tener un álgebra de Lie soluble
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ a b c Humphreys, 1972
- ↑ a b c d e f Knapp, 2002
- ↑ Knapp, 2002 Proposition 1.39.
- ↑ Knapp, 2002 Proposition 1.23.
- ↑ Fulton y Harris, 1991
- ↑ Knapp, 2002 Proposition 1.46.
- ↑ Knapp, 2002 Teorema 1.25.
- ↑ a b Serre,, Ch. I, § 6, Definición 2.
- ↑ Knapp, 2002 Proposición 1.40.