Courbe inverse
En géométrie, la courbe inverse d'une courbe donnée C est le résultat de l'application d'une opération d'inversion à C. Plus précisément, par rapport à un cercle fixe de centre O et de rayon k, l'inverse d'un point Q est le point P pour lequel P est situé sur le rayon OQ et OP·OQ = k2 . L'inverse de la courbe C est alors le lieu de P lorsque Q parcourt C. Le point O dans cette construction est appelé le centre d'inversion, le cercle le cercle d'inversion et k le rayon d'inversion.
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On peut voir la courbe inverse comme l'équivalent d'une symétrie axiale qui ne serait pas faite autour d'une droite, mais d'un cercle.
Une inversion appliquée deux fois est la transformation d'identité, donc l'inverse d'une courbe inverse par rapport au même cercle est la courbe d'origine. Les points sur le cercle d'inversion sont fixes par l'inversion, donc son inverse est lui-même.
Définitions
modifierÉquations
modifierL'inverse du point (x, y) par rapport au cercle unité est (X, Y) où
ou de façon équivalente
Ainsi, l'inverse de la courbe déterminée par f(x, y) = 0 par rapport au cercle unité est
Il en ressort clairement que l'inversion d'une courbe algébrique de degré n par rapport à un cercle génère une courbe algébrique de degré au plus 2n .
De même, l'inverse de la courbe définie par les équations paramétriques
par rapport au cercle unité est donné par
Cela implique que l'inverse circulaire d'une courbe rationnelle est également rationnelle.
Plus généralement, l'inverse de la courbe déterminée par f(x, y) = 0 par rapport au cercle de centre (a, b) et de rayon k est
L'inverse de la courbe définie par ses équations paramétriques de la forme
par rapport au même cercle a pour équations paramétriques
En coordonnées polaires, les équations sont plus simples lorsque le cercle d'inversion est le cercle unité. L'inverse du point (r, θ) par rapport au cercle unitaire est (R, Θ) où
Donc l'inverse de la courbe f(r, θ) = 0 est déterminé par f(1R, Θ) = 0
Construction géométrique
modifierPour construire le point inverse P' d'un point P par rapport à un cercle C de centre O et de rayon r, si le point est extérieur au cercle, on trace la tangente à C passant par P, puis on projette orthogonalement le point de tangence N sur la droite (OM). Ce point projeté est l'image de A' par inversion : en effet, on a, par similarité des triangles rectangles P'ON et NOP, l'égalité OP'×OP = P'N2.
Propriétés
modifierL'inversion agit comme une réflexion par un cercle ; ainsi, tout point de la courbe de référence extérieur au cercle a pour image un point intérieur au cercle après inversion, et réciproquement.
Degrés
modifierComme indiqué ci-dessus, l'inverse par rapport à un cercle d'une courbe de degré n est de degré au plus 2n. Le degré est exactement 2n sauf si la courbe d'origine passe par le point d'inversion ou si elle est circulaire, ce qui signifie qu'elle contient les points circulaires, (1, ±i, 0), lorsqu'elle est considérée comme une courbe dans le plan projectif complexe. En général, l'inversion par rapport à une courbe arbitraire peut produire une courbe algébrique avec un degré proportionnellement plus grand.
Plus précisément, si C est p-circulaire de degré n, et si le centre d'inversion est une singularité d'ordre q sur C, alors la courbe inverse sera une courbe (n − p − q)-circulaire de degré 2n − 2p − q et le centre d'inversion est une singularité d'ordre n − 2p sur la courbe inverse. Ici q = 0 si la courbe ne contient pas le centre d'inversion et q = 1 si le centre d'inversion est un point non singulier sur celle-ci ; de même les points circulaires, (1, ±i, 0), sont des singularités d'ordre p sur C . La valeur k peut être éliminée de ces relations pour montrer que l'ensemble des p-courbes circulaires de degré p + k, où p peut varier mais k est un entier positif fixe, est invariant par inversion.
Exemples
modifierEn appliquant la transformation ci-dessus à la lemniscate de Bernoulli
donne
ce qui est l'équation d'une hyperbole ; puisque l'inversion est une transformation birationnelle et que l'hyperbole est une courbe rationnelle, cela montre que la lemniscate est aussi une courbe rationnelle, c'est-à-dire une courbe de genre zéro.
Si on applique la transformation à la courbe de Fermat (en) xn + yn = 1, où n est impair, on obtient
Tout point rationnel sur la courbe de Fermat a un point rationnel correspondant sur cette courbe, donnant une formulation équivalente du dernier théorème de Fermat.
Cas particuliers
modifierPour simplifier, le cercle d'inversion dans les cas suivants sera le cercle unité. Les résultats pour d'autres cercles d'inversion peuvent être trouvés par translation et agrandissement de la courbe d'origine.
Droites
modifierPour une droite passant par l'origine, l'équation polaire est θ = θ0 où θ0 est fixe. Cela reste inchangé par inversion.
L'équation polaire d'une droite ne passant pas par l'origine est
et l'équation de la courbe inverse est
qui définit un cercle passant par l'origine. Plus précisément, ce cercle image est tel que la droite d'origine est l'axe radical des deux cercles (le cercle unité et le cercle image).
Une deuxième application de l'inversion montre que l'inverse d'un cercle passant par l'origine est une droite.
Cercles
modifierEn coordonnées polaires, l'équation générale d'un cercle qui ne passe pas par l'origine (les autres cas ayant été traités) est
où a est le rayon et (r0, θ0) sont les coordonnées polaires du centre. L'équation de la courbe inverse est alors
ou
C'est l'équation d'un cercle de rayon
et de centre de coordonnées polaires
On notera que R0 peut être négatif.
Si le cercle d'origine coupe le cercle unité, alors les centres des deux cercles et un point d'intersection forment un triangle de côtés 1, a, r0 ; c'est un triangle rectangle, c'est-à-dire que les rayons sont à angle droit, exactement quand
Mais d'après les équations ci-dessus, le cercle d'origine est le même que le cercle inverse exactement lorsque
Donc l'inverse d'un cercle est le même cercle si et seulement s'il coupe le cercle unité à angle droit.
Pour résumer et généraliser cette section et la précédente :
- L'inverse d'une droite ou d'un cercle est une droite ou un cercle.
- Si la courbe d'origine est une droite, la courbe inverse passera par le centre d'inversion. Si la courbe d'origine passe par le centre d'inversion, la courbe inversée sera une droite.
- La courbe inversée sera la même que l'originale exactement lorsque la courbe coupe le cercle d'inversion à angle droit.
Paraboles avec centre d'inversion au sommet
modifierL'équation d'une parabole est, à similarité près, après translation pour que le sommet soit à l'origine et rotation pour que l'axe soit horizontal, x = y2 . En coordonnées polaires cela devient
La courbe inverse a alors pour équation
qui est la cissoïde de Dioclès.
Sections coniques avec centre d'inversion à un foyer
modifierL'équation polaire d'une section conique avec un foyer à l'origine est, à similarité près
où e est l'excentricité. L'inverse de cette courbe sera alors
qui est l'équation d'un limaçon de Pascal. Lorsque e = 0, c'est le cercle d'inversion. Lorsque 0 < e < 1, la courbe d'origine est une ellipse et l'inverse est une simple courbe fermée avec un acnode à l'origine. Lorsque e = 1, la courbe d'origine est une parabole et l'inverse est la cardioïde qui a une pointe à l'origine. Lorsque e > 1 la courbe d'origine est une hyperbole et l'inverse forme deux boucles avec un crunode à l'origine.
Ellipses et hyperboles avec centre d'inversion en un sommet
modifierL'équation générale d'une ellipse ou d'une hyperbole est
Après translation pour que l'origine soit à l'un des sommets, cela donne
et le réarrangement donne
ou, en changeant les constantes,
On remarque alors que la parabole ci-dessus s'inscrit maintenant dans ce schéma en posant c = 0 et d = 1. L'équation de l'inverse est
ou
Cette équation décrit une famille de courbes appelées les conchoïdes de de Sluze (en). Cette famille comprend, outre la cissoïde de Dioclès citée ci-dessus, la trisectrice de Maclaurin (d = −c3) et la strophoïde droite (d = -c)
Ellipses et hyperboles avec centre d'inversion au centre
modifierEn inversant l'équation d'une ellipse ou d'une hyperbole
on trouve
qui est une hippopède. Lorsque d = −c c'est la lemniscate de Bernoulli.
Coniques avec centre d'inversion arbitraire
modifierEn appliquant la formule des degrés ci-dessus, l'inverse d'une conique (autre qu'un cercle) est une cubique circulaire si le centre d'inversion est sur la courbe, et une quartique bicirculaire sinon. Les coniques sont rationnelles, donc les courbes inverses sont également rationnelles. Inversement, toute cubique circulaire rationnelle ou quartique bicirculaire rationnelle est l'inverse d'une conique. En fait, une telle courbe doit avoir une singularité réelle et en prenant ce point comme centre d'inversion, la courbe inverse sera une conique par la formule du degré[1],[2].
Courbes anallagmatiques
modifierUne courbe anallagmatique est une courbe qui s'inverse sur elle-même. Les exemples incluent la droite (par rapport à un de ses points), le cercle, la cardioïde, l'ovale de Cassini, la strophoïde et la trisectrice de Maclaurin.
Articles connexes
modifierRéférences
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse curve » (voir la liste des auteurs).
- Stubbs, « On the application of a new Method to the Geometry of Curves and Curve Surfaces », Philosophical Magazine, series 3, vol. 23, , p. 338–347
- J. Dennis Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, , 43–46, 121 (ISBN 0-486-60288-5, lire en ligne )
- (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Curve », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Anallagmatic Curve », sur MathWorld
- "Inversion" at Visual Dictionary Of Special Plane Curves
- "Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" sur Mathcurve
- "Courbe anallagmatique" sur Mathcurve
Liens externes
modifier- Définition à l'index des courbes célèbres de MacTutor . Ce site contient également des exemples de courbes inverses et une applet Java pour explorer les courbes inverses de chaque courbe de l'index.