En géométrie riemannienne, le tenseur de Weyl représente la partie du tenseur de Riemann ne possédant pas de trace.

L'éponyme[1],[2] du tenseur est Hermann Weyl qui l'a introduit en [3],[4].

Formule principale

modifier

En notant respectivement Rabcd, Rab, R et gab le tenseur de Riemann, le tenseur de Ricci, la courbure scalaire et le tenseur métrique, le tenseur de Weyl Cabcd s'écrit

 ,

n est la dimension de l'espace considéré.

En particulier, en relativité générale, où l'on considère presque exclusivement des espaces-temps de dimension 4, on a[5] :

 .

Interprétation physique

modifier

En relativité générale, le tenseur de Ricci est lié à la présence de matière ; en l'absence de matière, le tenseur de Ricci est nul. Par conséquent, le tenseur de Weyl s'identifie au tenseur de Riemann. Cette propriété donne toute son importance au tenseur de Weyl : sa structure donne la totalité de la structure du champ gravitationnel dans les régions vides de matière. Par exemple, une région de l'espace traversée par une onde gravitationnelle a un tenseur de Weyl non nul.

Propriétés

modifier

Le tenseur de Weyl est un tenseur :

  • d'ordre 4[6],[7] ;
  • ayant les mêmes symétries[7],[8] et antisymétries[7],[8] que le tenseur de Riemann ;
  • sans trace[7],[8] et représentant la partie sans trace du tenseur de Riemann[9].

Composantes indépendantes

modifier

Le nombre de composantes indépendantes du tenseur de Riemann est  , celui du tenseur de Ricci est   (en incluant sa trace, correspondant à la courbure scalaire, et pour n supérieur à 2). Ainsi, le nombre   de composantes indépendantes du tenseur de Weyl, pour une variété de dimension n strictement supérieur à 2, de[10] :

 .

N est nul à une ou deux dimensions. En particulier, le tenseur de Weyl est nul dans un espace à 3 dimensions. Dans un espace(-temps) à 4 dimensions, il possède 10 composantes indépendantes.

Symétries

modifier

Le tenseur de Weyl possède les mêmes symétries que celui de Riemann[11] :

 ,
 .

Cependant, il possède, par rapport à celui de Riemann, une symétrie additionnelle[12] :

 .

Un calcul direct montre que si l'on fait subir au tenseur métrique une transformation conforme (c'est-à-dire qu'à partir d'une fonction Ω on définit un nouveau tenseur sous la forme  ), le tenseur de Weyl associé reste invariant. Comme le tenseur de Weyl est nul dans l'espace de Minkowski, le tenseur de Weyl doit être nul dans un espace conformément plat (c'est-à-dire dont la métrique est proportionnelle à celle de Minkowski en tout point). On peut montrer que la réciproque est vraie pour n supérieur à 3 : il suffit que le tenseur de Weyl soit nul pour que l'espace soit conformément plat. Dans un espace à trois dimensions, où le tenseur de Weyl est nul par définition, la platitude conforme est équivalente à l'annulation d'un autre tenseur, appelé tenseur de Cotton-York (ou tenseur de Cotton).

Classification

modifier

Un grand nombre de solutions connues des équations de la relativité générale correspondent à des espaces dépourvus de matière. Il est donc particulièrement utile de classer ces différentes solutions. L'une de ces classifications exploite une analogie avec les vecteurs propres des espaces vectoriels usuels, appliqué aux tenseurs d'ordre 4. Cette classification s'appelle la classification de Petrov. Dans un contexte légèrement différent, les espaces-temps quadridimensionnels sont commodément étudiés dans le cadre du formalisme de Newman-Penrose, qui consiste essentiellement à choisir un système de coordonnées adapté et dont les vecteurs de base jouissent de certaines propriétés. Dans ce cadre-là, les dix composantes indépendantes du tenseur de Weyl sont réduites à la donnée de cinq nombres complexes appelés scalaires de Weyl, auxquels il est possible de donner une interprétation physique intuitive (alors que la nature exacte de la solution apparaît souvent peu claire par la simple considération du tenseur métrique).

Notes et références

modifier
  1. Mars 2017, p. 545.
  2. Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011, chap. 3, sec. 3.7, § 3.7.6, no 3.7.6.2, p. 264.
  3. Hall 2000, références, [4], p. 507, col. 1.
  4. Weyl 1918.
  5. d'Inverno et Vickers 2022, chap. 6, sec. 6.13, p. 107 (6.88).
  6. Plebański et Krasiński 2006, Ire partie, chap. 7, sec. 7.13, p. 58.
  7. a b c et d Sharan 2009, chap. 9, sec. 9.5, § 9.5.2, p. 166.
  8. a b et c Choquet-Bruhat 2008, chap. XV, sec. 5, § 5.3, no 5.3.1, p. 500.
  9. Luscombe 2018, chap. 14, sec. 14.5, § 14.5.3, p. 267.
  10. Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011, chap. 3, sec. 3.7, § 3.7.6, no 3.7.6.2, p. 265 (3.203).
  11. d'Inverno et Vickers 2022, chap. 6, sec. 6.13, p. 107 (6.89).
  12. d'Inverno et Vickers 2022, chap. 6, sec. 6.13, p. 107 (6.90).

Voir aussi

modifier

Bibliographie

modifier

Articles connexes

modifier

Liens externes

modifier
  • Nombre de composantes indépendantes pour un tenseur Weyl en n dimensions : suite A052472 de l'OEIS.