Insieme aperto

concetto matematico

Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.

I punti del piano cartesiano che soddisfano la relazione formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio . I punti tali che sono disegnati in rosso. La parte disegnata in rosso forma un insieme aperto, mentre l'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso.

Spazi topologici

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La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme   se una qualunque collezione   di sottoinsiemi di   soddisfa le proprietà riportate sotto,   diventa uno spazio topologico,   viene chiamata topologia di   e gli insiemi di   per definizione, i suoi aperti.

Perché la collezione   sia una topologia devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

  1. l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di   è ancora un insieme di  
  2. l'intersezione di un numero finito di insiemi di   è ancora un insieme di  
  3. l'insieme   e l'insieme vuoto appartengono a  

Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia   È da notare che se si considera uno stesso insieme   con due diverse topologie   e   si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.

Spazi metrici

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In uno spazio metrico  , un sottoinsieme   di   si dice aperto se, per ogni  , esiste un numero reale   tale che i punti che distano da   per meno di   appartengono ancora a  . Formalmente: se  , allora  . Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di   secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).

Spazio euclideo

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Lo spazio euclideo   è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto   dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni   di   esiste una palla di raggio   centrata in  , interamente contenuta in  .

In particolare, un intervallo in   è aperto se è del tipo  , dove   e   possono anche essere rispettivamente   e  .

Insieme chiuso

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A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.

Bibliografia

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  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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