Classe di coniugio

insieme di elementi di un gruppo

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.[1]

Definizione

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Sia   un gruppo. Due elementi   e   di   sono detti coniugati se esiste un terzo elemento   in   tale che  . Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di   in insiemi disgiunti ognuno detto classe di equivalenza rispetto un elemento   fissato:

 
 

per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di  , e nel caso dell'azione di   su   viene detta classe di coniugio di  . Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di  . Se con  [2] indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:

 

dove per l'azione di coniugio si ha   e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:

Descrizione tramite classi di equivalenza

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Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza   definita in   ponendo per  :

 

La classe d'equivalenza contenente l'elemento   è proprio  : infatti  , dove   è l'elemento neutro di  , quindi   perché   è un sottogruppo.

Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

 

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato   si definisce come:

 

dove l'elemento   è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.

Proprietà

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  • L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, cioè:  . Infatti si ha:
 
  • Se   è abeliano,   per ogni   in  . In questo caso si ha che il centro   coincide con  .
  • Se due elementi   e   appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine. In particolare per il gruppo simmetrico devono avere tutti la stessa struttura ciclica o il tipo, cioè:
 
quindi un   ha   numeri interi che rappresentano le lunghezze dei cicli nella struttura ciclica di   (cioè 1-ciclo, 2-ciclo, ...), mentre   indica il numero di cicli aventi stessa lunghezza   con l'indice  , e rappresentando un singolo ciclo con la notazione   abbiamo:
 
essendo  . Allora il numero dei coniugati o dello stesso tipo di   è:[3]
 
  • Un elemento di   appartiene al centro   di   se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso. In simboli:
 
  • Se due elementi   e   sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine  , cioè   e  .

Coniugio come azione di gruppo

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Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di   in sé stesso:

 

oppure l'azione di coniugio destra

 

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di   che denotiamo   già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo   e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:

 

ed è un sottogruppo di   per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice  .

Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di   sulla famiglia   dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di   con   che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè   e   stesso:

 

oppure l'azione di coniugio destra

 

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.

Sottogruppo coniugato

Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:

 

che si dimostra essere ancora un sottogruppo di   L'insieme di tutti i coniugati di   si denota:

 

e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice  . Infine lo stabilizzatore di tale   viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:

 

Equazione delle classi di coniugio

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Se   è un gruppo finito, allora per ogni elemento   del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:

 

e consideriamo le relative classi laterali sinistre:

 

facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di   sono in corrispondenza biunivoca con le classi laterali del centralizzatore   Infatti due elementi   della stessa classe laterale danno origine allo stesso elemento coniugato  . In particolare con   si ha:

 

Essendo facile far vedere che   si ha:

 

cioè due elementi della stessa classe laterale corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe   hanno i rispettivi centralizzanti   che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio   allora per le rispettive classi laterali sinistre rispetto al centralizzatore   si ha  . Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore[4], quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio (  è un  -insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:

 [5]

con   l'indice in   del centralizzante di   tramite  . Ossia il numero di elementi nella classe di coniugio di   è l'indice   del centralizzatore   in  ; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo ( ).

Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo   da ogni classe di coniugio, essendo   partizionato in   classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene

 

e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:

 

dove   è il centralizzatore di   Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento   che sta al centro   (un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio  , che contiene il solo elemento   si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:[6][postille 1]

 

dove la somma dell'indice   è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è il centro.

La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo   viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro ( ) o delle classi di coniugio ( ).

Gruppo simmetrico Sn

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Consideriamo il gruppo simmetrico   non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:

 

che sappiamo avere centro banale   e quindi il centro   forma una sola classe di coniugio   e il corrispondente centralizzante   per cui

 

Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio   e i centralizzatori  , dove   è il rappresentante della  -esima classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che   è uguale al numero di partizioni di   ossia alla decomposizione di   nella somma d'interi positivi. Essendo  , occorre trovare gli   e cioè i seguenti casi:

 
 
 

Quindi le classi sono 3, cioè   ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in  :  . L'insieme degli elementi rappresentativi sia  .

Calcolo dei centralizzanti
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Consideriamo i 2-cicli e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo  , allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre   cioè lo stesso   commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto   non è abeliano. Quindi il tipo   ha come generico sottogruppo centralizzante:

  cioè  

e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2:  

Consideriamo i 3-cicli e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale  , cioè quello alterno per cui per il tipo   si ottiene

  cioè  

e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con  

Infine per l'elemento neutro si ha

  cioè  

cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.

Calcolo delle classi di coniugio
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Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di   oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-cicli osserviamo che fissato, ad esempio,   come rappresentante della classe si ha:

  dove sono stati omessi i punti fissi dei cicli per semplicità.

che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:

  cioè  

Per i 3-cicli allora, necessariamente, perché le classi di coniugio formano una partizione (con   come rappresentante della classe)

  cioè  

Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio

 

Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sulle classi laterali di  :

Classi di coniugio e centralizzanti di  
           
          3
     
     
          2
          1

dove   è il rappresentante della classe di coniugio,   è il sottogruppo   e   l'insieme dei sottogruppi coniugati di   L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.

p-gruppi

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Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei  -gruppi.

Consideriamo un  -gruppo finito   cioè:

 

dove   è l'insieme dei numeri primi e   quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che "ogni  -gruppo finito ha un centro   non banale", cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo ( ).

Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di   deve dividere l'ordine di   ne segue che qualsiasi classe di coniugio   ha ordine  [postille 1] Mentre si ha pure   Nell'equazione delle classi:

 

  divide   e quindi divide anche   che dimostra un centro non banale.

Si può studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:

 

Si deduce che  , cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore  [postille 2]

Casi particolari

  • per  ,   è un gruppo abeliano e si ha  , cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine  
  • per  ,   è un gruppo abeliano e si ha  , cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine   Infatti qualsiasi elemento   ammette i seguenti due casi:
    1.   allora   è isomorfo al gruppo ciclico di ordine   quindi abeliano con  .
    2.   ed essendo   un  -gruppo per quanto dimostrato sopra   che implica due casi   e  
      •   allora esiste un elemento   di   che non appartiene al centro di  
      Da notare che   include   e il centro che non contiene   ma almeno   elementi. Quindi l'ordine di   è strettamente maggiore di   e si ha:
        quindi un assurdo. Ne concludiamo che   è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine  , come nel caso 1.
      •   cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.
  1. ^ (EN) Lang S., II. Groups, in Undergraduate Algebra, 3ª ed., Springer Verlag, 2005, ISBN 978-0387220253.
  2. ^ a b (EN) Joseph J. Rotman, 3. Symmetric Groups and G-Sets, in An Introduction to the Theory of Groups, 4ª ed., Springer, 1994, ISBN 978-0387942858.
  3. ^ (EN) Dummit David S.; Foote Richard M., Abstract Algebra, 3ª ed., John Wiley & Sons, 2004, ISBN 0-471-43334-9.
  4. ^ (EN) Humphreys, J.F., 10. The Orbit-Stabiliser Theorem, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.
  5. ^ (EN) Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra, 2ª ed., Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891, OCLC 294885194. URL consultato l'8 novembre 2018.
  6. ^ (EN) Pierre Antoine Grillet, The Class Equation, in Abstract Algebra, 2ª ed., Springer Verlag, 2007, p. 57, ISBN 978-0387715674.
Postille
  1. ^ a b Nel caso di centro non banale distinguiamo due sistemi rappresentativi delle classi di coniugio e due indici:
      dove con   si indica un generico elemento che non sta nel centro;
      dove con   si indica un generico elemento che sta nel centro.
    Inoltre si ha:
      che indica il numero di orbite o classi non del centro;
      che indica il numero di orbite o classi del centro.
    Se il centro è banale si utilizza un solo sistema con  
  2. ^ Ad esempio   si ottiene il caso limite
     
    quindi  

Bibliografia

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