Sia uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:
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con l'uguaglianza che sussiste solo se e sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).
In forma integrale:
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con e funzioni quadrato sommabile in , che formano lo spazio di Hilbert L2. Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.
Nello spazio euclideo si ha:
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In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:
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dove l'operazione binaria indica il prodotto vettoriale.
La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo -dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.
Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:
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dove è l'angolo fra i due vettori e . Si estende quindi questa relazione a un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori e come il che realizza l'uguaglianza.
Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:
Siano , vettori arbitrari in uno spazio vettoriale su un campo con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza
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dove l'identità vale se e solo se e sono multipli fra di loro.
Se è banalmente provata l'uguaglianza, ed in questo caso e sono linearmente dipendenti (multipli l'uno dell'altro) a prescindere da . Possiamo quindi assumere non nullo. Assumiamo anche , altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né né possono essere negativi.
Sia il vettore ortogonale a (si veda ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) così definito:
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Quindi
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Per bilinearità e simmetria del prodotto scalare e per ortogonalità di e si ha che
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da cui, moltiplicando entrambi i membri per ,
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Poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene
- QED.
La disuguaglianza risulta banalmente vera per , quindi si assume diverso da zero. Sia un numero complesso. Si ha:
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Scegliendo
- , e ricordando che
si ottiene:
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che vale se e solo se
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o equivalentemente
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Si consideri un polinomio di secondo grado in del tipo:
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che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli e i sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia sussiste un legame di proporzionalità con tutte le coppie (cioè per ogni esiste tale che e ). In tal caso la radice è:
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Sviluppando i quadrati si ottiene:
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Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:
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da cui si ricava:
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che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
- Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
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- (EN) Cauchy-Schwarz inequality, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) V.I. Bityutskov, Bunyakovskii inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.