Varianza

funzione che che fornisce una misura della variabilità dei valori assunti da una variabile
Disambiguazione – Se stai cercando il grado di libertà in termodinamica, vedi Grado di libertà (chimica).

In statistica e in teoria della probabilità la varianza di una variabile statistica o di una variabile aleatoria è una funzione, indicata con o con (o semplicemente con se la variabile è sottintesa), che fornisce una misura della variabilità dei valori assunti dalla variabile stessa; nello specifico, la misura di quanto essi si discostino quadraticamente rispettivamente dalla media aritmetica o dal valore atteso . La varianza è una misura di dispersione, ossia una misura di quanto un dato insieme di numeri si discosta dal suo valore medio. Se assume valori lontani dalla sua media, la sua varianza sarà conseguentemente grande. Al contrario, se la variabile aleatoria rimane costante, la sua varianza sarà nulla. Essa rappresenta il momento centrato del second'ordine della variabile , se esiste finito, e la covarianza tra la variabile aleatoria e sé stessa.

Esempio di campioni da due popolazioni con la stessa media ma diversa varianza.
Esempio di campioni da due popolazioni con la stessa media ma diversa varianza. La popolazione rossa ha media 100 e varianza 100 (SD=10), invece la popolazione blu ha media 100 e varianza 2500 (SD=50).

Il termine di "varianza" venne introdotto nel 1918 da Ronald Fisher[1] e sostituì nel tempo la denominazione di "deviazione standard quadratica" utilizzata da Karl Pearson.

Probabilità

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Definizione

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La varianza della variabile aleatoria   è definita come il valore atteso del quadrato della variabile aleatoria centrata  

 

Un esempio di "misura" dello scostamento di una variabile aleatoria dalla media è dato dalla disuguaglianza di Čebyšëv che controlla questo scostamento in termini dello scarto tipo:

 

dove  

Proprietà

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Segno della varianza

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La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume quasi certamente un solo valore  , cioè se  .

Massimo e minimo della varianza fissati i valori estremi della distribuzione

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Dato un insieme di   unità statistiche, dove   e   sono i valori minimo e massimo tra le unità, il massimo valore che può assumere la varianza è uguale a

 

Se dalle osservazioni si conosce soltanto la media  , il valore è uguale a

 

Espressione della varianza come differenza tra il momento di ordine 2 e il quadrato del valore atteso

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Formula computazionale per la varianza.

Una formula alternativa per la varianza è

 

Questa formula è più pratica per calcolare la varianza.

Invarianza per traslazione

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La varianza è invariante per traslazione, che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per riscalamento:

 

Varianza della somma di due variabili indipendenti

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La varianza della somma di due variabili indipendenti o anche solo incorrelate è pari alla somma delle loro varianze

 

Varianza della differenza di due variabili indipendenti

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Usando le due precedenti affermazioni, possiamo dire che la varianza della differenza di due variabili indipendenti è pari alla somma delle loro varianze

 

Varianza della somma di due variabili non indipendenti

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Se   e   non sono indipendenti, la formula viene corretta dalla loro covarianza,

 

dove

 

Varianza della media aritmetica di variabili indipendenti

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In particolare, la media aritmetica   di   variabili aleatorie indipendenti aventi la medesima distribuzione, ha varianza aritmetica

 

Variabili aleatorie discrete e continue

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La varianza di una variabile aleatoria discreta   a valori in un insieme   si calcola attraverso la sua funzione di probabilità:

 
 

La varianza di una variabile aleatoria continua   a valori in un insieme   si calcola attraverso la sua densità di probabilità:

 
 

Esempio

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Una variabile aleatoria di Bernoulli  , cioè che ha probabilità   di fornire "1" e probabilità   di fornire "0", ha valore atteso

 

e la sua varianza può essere calcolata come

 

oppure come

 

Statistica

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In statistica la varianza è un indice di variabilità. Data una distribuzione di un carattere quantitativo   su una popolazione di   elementi, la varianza è la media aritmetica del quadrato delle distanze dei valori dalla loro media

 

dove   è la media aritmetica di  .

Nel caso si disponga della distribuzione di frequenze di un carattere, è possibile calcolare più facilmente la varianza attraverso la seguente formula:

 

dove  rappresenta il numero di modalità in cui si presenta il carattere  , mentre   e   sono rispettivamente la  -esima modalità di   e la relativa frequenza assoluta.

A partire dalla precedente formula, ricordando che  , si ricava anche:

 

dove   è la frequenza relativa della  -esima modalità.

Esiste, infine, una formula semplificata per il calcolo della varianza:

 

Le formule corrispondenti alla precedente che fanno uso della frequenza assoluta e di quella relativa sono:

 
 

Un difetto della varianza è quello di non avere la stessa unità di misura dei valori analizzati (se, per esempio, questi sono in cm, la varianza sarà in cm2), perciò in statistica viene molto spesso utilizzata anche la radice quadrata della varianza, vale a dire lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo)  . Con riferimento a questa notazione la varianza si trova quindi anche indicata come  .

Stimatori

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In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di cardinalità  :

  e  

dove   è la media campionaria. Il primo è detto varianza campionaria, mentre il secondo è detto varianza campionaria corretta a causa della sua proprietà di correttezza. Infatti lo stimatore   è privo di distorsione, cioè il suo valore atteso è proprio la varianza:

 

Al contrario, lo stimatore   ha un valore atteso diverso dalla varianza,  .

Una spiegazione del termine   è data dalla necessità di stimare anche la media che per il teorema del limite centrale ha varianza 1/n. Se la media è nota, lo stimatore   diventa corretto. Questa è detta "correzione di Bessel".

Se le   sono variabili aleatorie normali  , lo stimatore   è una variabile aleatoria con distribuzione  .

Esempio

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Il campione di   elementi   ha media campionaria pari a:

 

e gli stimatori della varianza valgono rispettivamente

 

e

 

Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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