数学において、虚数単位 i の i 乗(i の i じょう)すなわち ii とは、ある可算無限個の正の実数である。ネイピア数 e と円周率 π を用いて、
![{\displaystyle i^{i}=e^{-(4n+1)\pi /2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4748427ecc2d387e576532771a0961d63e6c0dcb)
と書ける(n は任意の整数)。n = 0 としたとき、ii は主値
![{\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.20787957\ldots }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fe04607aeea435f6c0b0aba4c4e62d58081851)
を取る(オンライン整数列大辞典の数列 A49006)。
まず i の偏角は(ラジアンで) π/2 + 2nπ(n は任意の整数)であることに注意する。
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ただし log は複素対数函数(多価関数)であり、log i は
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そして指数関数 ex は、冪級数
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等により定義され、虚数乗も計算できる。
ここで ln は実数値関数の自然対数であり
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と計算される。n = ... , −2, −1, 0, 1, 2, ... とおくと
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となる。主値は冒頭の通り n = 0 のときの e−π/2 である。
ii の取る値はどれも正の実数であるが、e−(π/2 + 2nπ) の整数 n を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に n を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって ii には最大値も最小値も存在しない。
ii の主値 e−π/2 は
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であるから、ゲルフォント=シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の ii の値も超越数である。
なお (−i)−i も
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なので、(−i)−i = ii である。
テトレーション の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。
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ただし、W はランベルトのW関数である。
- Weisstein, Eric W. "i". mathworld.wolfram.com (英語).