리 대수 이론에서, 아핀 리 대수 (affine Lie代數, 영어 : affine Lie algebra )는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다.[1] [2] [3] [4] [5] [6] 물리학 의 등각 장론 에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수 의 특별한 경우다.
비틀리지 않은 아핀 딘킨 도표들. 새로 추가한 꼭짓점은 녹색이다.
비틀린 아핀 딘킨 도표들.
아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
이 정의들은 서로 동치이다.
아핀 리 대수 는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬
A
{\displaystyle A}
가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
가
n
+
1
{\displaystyle n+1}
개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은
(
n
+
1
)
×
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)\times (n+1)}
정사각 행렬 이며 그 계수 는
l
{\displaystyle l}
이다.
다음이 주어졌다고 하자.
복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수
(
g
∘
C
,
⟨
|
⟩
:
g
∘
⊗
K
g
∘
C
→
C
)
{\displaystyle ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} },\langle |\rangle \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{K}{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to \mathbb {C} )}
. (만약
g
∘
C
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
가 반단순 리 대수 라면, 이는 킬링 형식 으로 잡을 수 있다. 만약
g
∘
C
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
가 아벨 리 대수 라면, 마찬가지로 적절한 쌍선형 형식을 잡을 수 있다. 만약 둘 다 아니라면, 이는 0으로 놓을 수 있다.)
그렇다면, 아핀 리 대수
g
^
C
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
는
K
{\displaystyle K}
-벡터 공간 으로서 다음과 같다.
g
^
=
g
∘
[
z
,
z
−
1
]
⊕
C
k
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}}
.
즉,
g
∘
C
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
의 계수를 가진 로랑 다항식
g
C
[
z
,
z
−
1
]
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}
에 중심 확대
k
{\displaystyle {\mathsf {k}}}
를 더한 것이다. 물리학적으로
g
∘
C
[
z
,
z
−
1
]
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}
는 대칭의 보존류들을 나타내고,
k
{\displaystyle {\mathsf {k}}}
는 대칭의 변칙 을 나타낸다.
g
^
C
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
위에는 다음과 같은 리 괄호 를 정의한다.
a
,
b
∈
g
∘
C
{\displaystyle a,b\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
라고 하면,
[
a
z
m
,
b
z
n
]
=
[
a
,
b
]
z
m
+
n
+
δ
m
+
n
,
0
m
⟨
a
|
b
⟩
k
{\displaystyle [a{\mathsf {z}}^{m},b{\mathsf {z}}^{n}]=[a,b]{\mathsf {z}}^{m+n}+\delta _{m+n,0}m\langle a|b\rangle {\mathsf {k}}}
[
k
,
a
z
n
]
=
[
k
,
k
]
=
0
{\displaystyle [{\mathsf {k}},a{\mathsf {z}}^{n}]=[{\mathsf {k}},{\mathsf {k}}]=0}
k
{\displaystyle {\mathsf {k}}}
는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열
0
→
C
k
→
g
^
C
→
g
∘
C
⊗
C
[
z
,
z
−
1
]
→
0
{\displaystyle 0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\otimes \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0}
이 존재한다.
형식적 변수
z
{\displaystyle {\mathsf {z}}}
대신,
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 정규 직교 기저
g
a
{\displaystyle g^{a}}
를 잡아, 직접
g
m
a
=
g
a
z
m
{\displaystyle g_{m}^{a}=g^{a}{\mathsf {z}}^{m}}
를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.
[
g
m
a
,
g
n
b
]
=
f
a
b
c
g
m
+
n
c
+
δ
m
+
n
,
0
m
δ
a
b
k
{\displaystyle [g_{m}^{a},g_{n}^{b}]=f^{ab}{}_{c}g_{m+n}^{c}+\delta _{m+n,0}m\delta ^{ab}{\mathsf {k}}}
[
k
,
g
m
a
]
=
0
{\displaystyle [{\mathsf {k}},g_{m}^{a}]=0}
여기서
f
a
b
c
{\displaystyle f^{ab}{}_{c}}
는
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 구조 상수이다.
g
∘
C
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
가 실수 이차 리 대수
g
∘
R
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }}
의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수
g
∘
C
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
는 실수 리 대수 로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.
z
↦
z
−
1
{\displaystyle {\mathsf {z}}\mapsto {\mathsf {z}}^{-1}}
i
↦
−
i
{\displaystyle \mathrm {i} \mapsto -\mathrm {i} }
k
↦
k
{\displaystyle {\mathsf {k}}\mapsto {\mathsf {k}}}
x
↦
x
∀
x
∈
g
∘
R
{\displaystyle x\mapsto x\qquad \forall x\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }}
즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(영어 : antilinear ) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점
g
^
R
=
g
∘
⊗
R
R
[
z
+
z
−
1
,
i
(
z
−
z
−
1
)
]
+
R
k
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }={\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]+\mathbb {R} {\mathsf {k}}}
은 실수 리 대수 를 이룬다.
복소수 벡터 공간
g
~
C
=
g
^
C
⊕
C
d
{\displaystyle {\tilde {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }={\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}}
위에 다음과 같은 리 괄호 를 정의할 수 있다.
[
d
,
a
z
m
]
=
−
i
m
a
z
m
∀
a
∈
g
∘
C
{\displaystyle [{\mathsf {d}},az^{m}]=-\mathrm {i} ma{\mathsf {z}}^{m}\qquad \forall a\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{\mathbb {C} }}
[
d
,
c
]
=
0
{\displaystyle [{\mathsf {d}},{\mathsf {c}}]=0}
즉,
[
d
,
−
]
=
−
i
z
d
d
z
{\displaystyle [{\mathsf {d}},-]=-\mathrm {i} {\mathsf {z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {z}}}}}
이다. 만약 형식적으로
z
=
exp
(
i
t
)
{\displaystyle {\mathsf {z}}=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})}
로 놓는다면,
[
d
,
−
]
=
d
d
t
{\displaystyle [{\mathsf {d}},-]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\mathsf {t}}}}}
가 된다.
또한,
[
d
,
a
(
z
+
z
−
1
)
]
=
−
a
i
(
z
−
z
−
1
)
{\displaystyle [{\mathsf {d}},a(z+z^{-1})]=-a\mathrm {i} (z-{\mathsf {z}}^{-1})}
[
d
,
i
a
(
z
−
z
−
1
)
]
=
a
(
z
+
z
−
1
)
{\displaystyle [{\mathsf {d}},\mathrm {i} a(z-z^{-1})]=a(z+{\mathsf {z}}^{-1})}
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태
g
^
R
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}^{\mathbb {R} }}
에도 잘 정의된다.
g
∘
[
z
,
z
−
1
]
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}
를 원 위의 푸리에 급수 로 해석할 수 있다. 즉,
z
=
exp
(
i
t
)
{\displaystyle z=\exp(\mathrm {i} {\mathsf {t}})}
로 놓으면,
g
∘
[
z
,
z
−
1
]
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}[{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}
를 주기적 함수
S
1
→
g
∘
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\to {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
로 해석할 수 있다. 즉,
a
(
0
)
=
a
(
2
π
)
{\displaystyle a(0)=a(2\pi )}
의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.
만약
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
가 자명하지 않은 자기 동형
σ
∈
Aut
(
g
∘
)
{\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}
를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.
σ
a
(
0
)
=
a
(
2
π
)
{\displaystyle \sigma a(0)=a(2\pi )}
.
이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수 (twisted affine Lie algebra )라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수 (twisted Kač–Moody algebra )를 정의할 수 있다.
아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수 를 통해 구성될 수 있다.[3] :824, §4.1
구체적으로, 킬링 형식 이 음의 정부호 인 실수 단순 리 대수
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간
L
g
∘
=
C
∞
(
S
1
,
g
∘
)
{\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}
을 정의할 수 있다. 이는
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
값의 매끄러운 주기 함수 로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호 를 부여하면 이는 리 대수 를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수 로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간 을 갖는다.
ι
:
C
[
z
,
z
−
1
]
⊗
R
g
∘
⊆
L
g
∘
⊗
R
C
{\displaystyle \iota \colon \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subseteq \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
ι
(
z
n
⊗
x
)
:
t
↦
exp
(
i
t
n
)
x
(
x
∈
g
,
t
∈
R
/
2
π
Z
=
S
1
)
{\displaystyle \iota ({\mathsf {z}}^{n}\otimes x)\colon t\mapsto \exp(\mathrm {i} tn)x\qquad (x\in {\mathfrak {g}},\;t\in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} =\mathbb {S} ^{1})}
이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간 으로의) 완비화 로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는
ι
R
:
R
[
z
+
z
−
1
,
i
(
z
−
z
−
1
)
]
⊗
R
g
∘
→
L
g
∘
{\displaystyle \iota _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
이다.
고리 리 대수
L
g
∘
{\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 리 대수 코호몰로지 에서, 다음과 같은 2차 공사슬 이 존재한다.
α
:
L
g
∘
×
L
g
∘
→
R
{\displaystyle \alpha \colon \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\times \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to \mathbb {R} }
α
:
(
x
,
y
)
↦
δ
2
2
π
∫
S
1
⟨
x
(
t
)
|
y
(
t
)
⟩
d
t
{\displaystyle \alpha \colon (x,y)\mapsto {\frac {\delta ^{2}}{2\pi }}\int _{\mathbb {S} ^{1}}\langle x(t)|y(t)\rangle \,\mathrm {d} t}
여기서
⟨
−
|
−
⟩
{\displaystyle \langle -|-\rangle }
은
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
위의 어떤 임의의 불변 비퇴화 이차 형식 이다. (이는 킬링 형식 의 스칼라배이다.) 비퇴화성으로 인하여, 이는 쌍대 공간
g
∘
∗
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}^{*}}
위의 비퇴화 이차 형식 으로도 여길 수 있다.
δ
2
{\displaystyle \delta ^{2}}
는
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 근계 의 가장 긴 근의 제곱 노름이다. 여기서 제곱 노름은
⟨
−
|
−
⟩
{\displaystyle \langle -|-\rangle }
에 따른 것이다.
S
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}
의 측도
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
에 따르면,
∫
S
1
d
t
=
2
π
{\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {S} ^{1}}\mathrm {d} t=2\pi }
이다.
이 2차 공사슬 은 리 대수 의 짧은 완전열
0
→
R
→
g
¯
→
L
g
∘
→
0
{\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to {\bar {\mathfrak {g}}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to 0}
을 정의한다. 이 경우,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
는 자연스럽게 다음과 같이
g
¯
{\displaystyle {\bar {\mathfrak {g}}}}
의 부분 리 대수가 된다.
0
→
R
→
g
^
→
g
∘
⊗
R
R
[
z
+
z
−
1
,
i
(
z
−
z
−
1
)
]
→
0
↓
↓
↓
0
→
R
→
g
¯
→
L
g
∘
→
0
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &\mathbb {R} &\to &{\hat {\mathfrak {g}}}&\to &{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} [z+z^{-1},\mathrm {i} (z-z^{-1})]&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &\mathbb {R} &\to &{\bar {\mathfrak {g}}}&\to &\mathrm {L} {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}&\to &0\end{matrix}}}
실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체 인 리 군의 리 대수 이다.[3] :825, §4.1
구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군
G
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{G}}}
와 그 실수 리 대수
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군 을 정의할 수 있다.
L
G
∘
=
C
∞
(
S
1
,
G
∘
)
{\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},{\stackrel {\circ }{G}})}
즉, 이는
G
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{G}}}
값의 매끄러운 주기 함수 의 공간이다. 이는 프레셰 다양체 를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군 을 이룬다.
아핀 리 대수는
R
[
z
+
z
−
1
,
i
(
z
−
z
−
1
)
]
⊗
R
g
∘
{\displaystyle \mathbb {R} [{\mathsf {z}}+{\mathsf {z}}^{-1},\mathrm {i} ({\mathsf {z}}-{\mathsf {z}}^{-1})]\otimes _{\mathbb {R} }{\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 중심 확대 이다. 위상군 으로서, 이는 짧은 완전열
1
→
U
(
1
)
→
G
^
→
L
G
∘
→
1
{\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}\to \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}\to 1}
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발 을 이룬다.
구체적으로, 원판
D
2
{\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}
를 생각하자. 이제,
L
G
∘
=
G
D
2
/
G
{\displaystyle \mathrm {L} {\stackrel {\circ }{G}}=G_{\mathbb {D} ^{2}}/{\mathcal {G}}}
G
D
2
=
C
∞
(
D
2
,
G
)
{\displaystyle G_{\mathbb {D} ^{2}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)}
G
=
{
α
∈
G
D
2
:
α
↾
∂
D
2
=
1
G
∘
}
≅
C
∙
∞
(
S
2
,
G
∘
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\alpha \in G_{\mathbb {D} ^{2}}\colon \alpha \upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{2}=1_{\stackrel {\circ }{G}}\}\cong {\mathcal {C}}_{\bullet }^{\infty }(\mathbb {S} ^{2},{\stackrel {\circ }{G}})}
이다. 여기서
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
는 일종의 게이지 변환군 으로 여길 수 있다. 이제,
G
D
2
{\displaystyle G_{\mathbb {D} ^{2}}}
위의 다음과 같은 함수를 생각하자.
γ
:
G
D
2
×
G
D
2
→
R
{\displaystyle \gamma \colon G_{\mathbb {D} ^{2}}\times G_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {R} }
γ
(
g
,
h
)
=
1
4
π
δ
2
∫
D
2
⟨
g
−
1
d
g
|
h
−
1
d
h
⟩
{\displaystyle \gamma (g,h)={\frac {1}{4\pi \delta ^{2}}}\int _{\mathbb {D} ^{2}}\langle g^{-1}\mathrm {d} g|h^{-1}\mathrm {d} h\rangle }
여기서
⟨
−
|
−
⟩
{\displaystyle \langle -|-\rangle }
는
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
위의 불변 비퇴화 이차 형식 이며, (예를 들어) 딸림표현 에서의 대각합
⟨
x
,
y
⟩
=
tr
(
x
y
)
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {tr} (xy)}
으로 여길 수 있다.
δ
2
{\displaystyle \delta ^{2}}
는
⟨
−
|
−
⟩
{\displaystyle \langle -|-\rangle }
에 따른,
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 근계 의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.
그렇다면,
exp
(
i
l
γ
(
−
,
−
)
)
:
G
D
2
×
G
D
2
→
C
(
l
∈
Z
)
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} l\gamma (-,-))\colon G_{\mathbb {D} ^{2}}\times G_{\mathbb {D} ^{2}}\to \mathbb {C} \qquad (l\in \mathbb {Z} )}
는 (자명한 계수의)
C
∞
(
D
2
,
G
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {D} ^{2},G)}
의 군 코호몰로지 의 2차 공사슬 을 이루며, 이는
G
D
2
{\displaystyle G_{\mathbb {D} ^{2}}}
의 중심 확대
1
→
U
(
1
)
→
G
^
D
2
→
G
D
2
→
1
{\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}\to G_{\mathbb {D} ^{2}}\to 1}
를 정의한다.
이제, 임의의
α
∈
G
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {G}}}
에 대하여,
ι
l
:
G
→
G
^
D
2
{\displaystyle \iota _{l}\colon {\mathcal {G}}\to {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}}
ι
l
:
α
↦
(
α
,
exp
(
i
l
12
π
δ
2
∫
D
3
tr
(
α
¯
−
1
d
α
¯
)
3
)
)
{\displaystyle \iota _{l}\colon \alpha \mapsto \left(\alpha ,\exp \left({\frac {\mathrm {i} l}{12\pi \delta ^{2}}}\int _{\mathbb {D} ^{3}}\operatorname {tr} ({\bar {\alpha }}^{-1}\mathrm {d} {\bar {\alpha }})^{3}\right)\right)}
를 정의할 수 있다. 여기서
α
¯
:
D
3
→
G
∘
{\displaystyle {\bar {\alpha }}\colon \mathbb {D} ^{3}\to {\stackrel {\circ }{G}}}
(
α
¯
↾
∂
D
3
)
=
α
{\displaystyle ({\bar {\alpha }}\upharpoonright \partial \mathbb {D} ^{3})=\alpha }
는
α
:
S
2
→
G
∘
{\displaystyle \alpha \colon \mathbb {S} ^{2}\to {\stackrel {\circ }{G}}}
의, 3차원 공
D
3
{\displaystyle \mathbb {D} ^{3}}
으로�� 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이
α
¯
{\displaystyle {\bar {\alpha }}}
의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형 의 작용 의 항에 해당한다.
이 사상은 단사 함수 이자 군 준동형 이며,
ι
l
(
G
)
{\displaystyle \iota _{l}({\mathcal {G}})}
는
G
^
D
2
{\displaystyle {\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}}
의 정규 부분군 이다. 따라서, 몫군
G
^
l
=
G
^
D
2
ι
l
(
G
)
{\displaystyle {\hat {G}}_{l}={\frac {{\hat {G}}_{\mathbb {D} ^{2}}}{\iota _{l}({\mathcal {G}})}}}
을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열
1
→
U
(
1
)
→
G
^
l
→
L
G
→
1
{\displaystyle 1\to \operatorname {U} (1)\to {\hat {G}}_{l}\to \mathrm {L} G\to 1}
을 구성한다. (정수
l
∈
Z
{\displaystyle l\in \mathbb {Z} }
은
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라,
G
^
l
{\displaystyle {\hat {G}}_{l}}
의 리 대수 는 (
l
≠
0
{\displaystyle l\neq 0}
일 경우,
l
{\displaystyle l}
의 값에 상관없이)
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
이다.
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.
아핀 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 단순근들이
α
0
,
…
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}}
이며, 단순 쌍대근들이
α
0
∨
,
…
,
α
n
∨
{\displaystyle \alpha _{0}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }}
라고 하자. 콕서터 라벨 (영어 : Coxeter label )
a
i
{\displaystyle a_{i}}
와 쌍대 콕서터 라벨 (영어 : dual Coxeter label )
a
i
∨
{\displaystyle a_{i}^{\vee }}
는 카르탕 행렬
A
{\displaystyle A}
에 대하여
0
=
a
⊤
A
=
A
a
∨
{\displaystyle 0=a^{\top }A=Aa^{\vee }}
를 만족시키는 벡터이다.[2] :96, (2.1.16) 이 경우,
a
{\displaystyle a}
및
a
∨
{\displaystyle a^{\vee }}
의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수 가 1이게 정의한다.
아핀 리 대수의 콕서터 수 (영어 : Coxeter number )
h
{\displaystyle h}
와 쌍대 콕서터 수 (영어 : dual Coxeter number )
h
∨
{\displaystyle h^{\vee }}
는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.
h
(
g
)
=
∑
i
=
0
n
a
i
{\displaystyle {\mathsf {h}}({\mathfrak {g}})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}
h
∨
(
g
)
=
∑
i
=
0
n
a
i
∨
{\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{\vee }}
아핀 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 표준 중심 원소 (標準中心元素, 영어 : canonical central element )
k
∈
h
{\displaystyle k\in {\mathfrak {h}}}
는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수
h
⊆
g
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}
의 원소이다.
k
=
∑
i
=
0
n
a
i
∨
α
i
∨
{\displaystyle k=\sum _{i=0}^{n}a_{i}^{\vee }\alpha _{i}^{\vee }}
그렇다면,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 중심은 1차원 부분 대수
Z
(
g
)
=
C
k
{\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\mathbb {C} {\mathsf {k}}}
이다. 마찬가지로,
δ
=
∑
i
=
0
n
a
i
α
i
{\displaystyle \delta =\sum _{i=0}^{n}a_{i}\alpha _{i}}
를 정의하자.
아핀 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 기본 단순 리 대수가
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
라고 하자.
r
{\displaystyle r}
가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형 의 차수라고 하자. 예를 들어,
D
~
4
(
3
)
{\displaystyle {\tilde {D}}_{4}^{(3)}}
의 경우,
r
=
3
{\displaystyle r=3}
이다. 그렇다면,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 실근들의 집합
Δ
re
(
g
)
{\displaystyle \Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})}
는 구체적으로 다음과 같다.[1] :83, Proposition 6.3a,b,c
Δ
re
(
g
)
=
{
Δ
∘
+
Z
δ
r
=
1
(
Δ
∘
short
+
Z
δ
)
∪
(
Δ
∘
long
+
r
Z
δ
)
r
∈
{
2
,
3
}
,
g
≇
A
2
n
(
2
)
1
2
(
Δ
∘
long
+
(
2
Z
−
1
)
δ
)
∪
(
Δ
∘
short
+
Z
δ
)
∪
(
Δ
∘
long
+
2
Z
δ
)
g
≅
A
2
n
(
2
)
{\displaystyle \Delta ^{\text{re}}({\mathfrak {g}})={\begin{cases}{\stackrel {\circ }{\Delta }}+\mathbb {Z} \delta &r=1\\({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta )\cup ({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+r\mathbb {Z} \delta )&r\in \{2,3\},\;{\mathfrak {g}}\not \cong A_{2n}^{(2)}\\{\frac {1}{2}}\left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+(2\mathbb {Z} -1)\delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{short}}+\mathbb {Z} \delta \right)\cup \left({\stackrel {\circ }{\Delta }}_{\text{long}}+2\mathbb {Z} \delta \right)&{\mathfrak {g}}\cong A_{2n}^{(2)}\end{cases}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 허근들의 집합
Δ
im
(
g
)
{\displaystyle \Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})}
는 다음과 같다.[1] :64, Theorem 5.6b
Δ
im
(
g
)
=
(
Z
∖
{
0
}
)
δ
{\displaystyle \Delta ^{\text{im}}({\mathfrak {g}})=(\mathbb {Z} \setminus \{0\})\delta }
(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한,
δ
{\displaystyle \delta }
는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.[1] :64, Theorem 5.6b
Δ
im
,
+
(
g
)
=
Z
+
δ
{\displaystyle \Delta ^{{\text{im}},+}({\mathfrak {g}})=\mathbb {Z} ^{+}\delta }
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 축척 원소 (영어 : scaling element )
d
∈
h
{\displaystyle d\in {\mathfrak {h}}}
는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.
⟨
α
i
,
d
⟩
=
δ
i
,
0
{\displaystyle \langle \alpha _{i},d\rangle =\delta _{i,0}}
축척 원소를 선택하였다면,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
와 그 카르탕 부분 대수
h
⊆
g
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}
는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.
g
=
[
g
,
g
]
⊕
C
d
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}}
h
=
Span
{
α
0
∨
,
…
,
α
r
∨
,
d
}
{\displaystyle {\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} \{\alpha _{0}^{\vee },\dots ,\alpha _{r}^{\vee },d\}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
에서,
k
{\displaystyle k}
및
d
{\displaystyle d}
에 수직이 되는 부분 공간을
h
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}
라고 하자.
h
=
h
∘
⊕
C
k
⊕
C
d
{\displaystyle {\mathfrak {h}}={\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {k}}\oplus \mathbb {C} {\mathsf {d}}}
아핀 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 슈발레 생성원을
(
e
0
,
f
0
)
,
…
,
(
e
n
,
f
n
)
{\displaystyle (e_{0},f_{0}),\dots ,(e_{n},f_{n})}
이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 기본 단순 리 대수 (영어 : underlying simple Lie algebra )
g
∘
⊊
g
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\subsetneq {\mathfrak {g}}}
는
h
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}
및
(
e
1
,
f
1
)
,
…
,
(
e
n
,
f
n
)
{\displaystyle (e_{1},f_{1}),\dots ,(e_{n},f_{n})}
로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수 이며, 기본 단순 리 대수
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 카르탕 부분 대수는
h
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}
이며, 그 근계 및 쌍대 근계는
Δ
∘
=
Δ
∩
h
∘
∗
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\Delta }}=\Delta \cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}^{*}}
Δ
∘
∨
=
Δ
∨
∩
h
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }=\Delta ^{\vee }\cap {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}
이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각
{
α
1
,
…
,
α
n
}
{\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}}
{
α
1
∨
,
…
,
α
n
∨
}
{\displaystyle \{\alpha _{1}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }\}}
이다.
아핀 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 바일 군
Weyl
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}
은 아핀 콕서터 군 이며, 그 기본 단순 리 대수
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 바일 군
Weyl
(
g
∘
)
{\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}
과 어떤 자유 아벨 군 의 반직접곱 이다.[1] :88, Proposition 6.5
Weyl
(
g
)
=
Weyl
(
g
∘
)
⋊
M
{\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Weyl} ({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})\rtimes M}
여기서
M
=
{
Span
Z
Δ
∘
r
=
1
Span
Z
Δ
∘
∨
r
∈
{
2
,
3
}
{\displaystyle M={\begin{cases}\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}&r=1\\\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }{\stackrel {\circ }{\Delta }}^{\vee }&r\in \{2,3\}\end{cases}}}
는
h
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}
속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형
∘
h
≅
∘
h
∗
{\displaystyle \circ {\mathfrak {h}}\cong \circ {\mathfrak {h}}^{*}}
를 암묵적으로 사용하였다.
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 유한 차원 유니터리 표현
ρ
∘
:
g
→
u
(
n
)
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\rho }}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {u}}(n)}
이 주어졌으며, 자연수
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
에서, 포함 관계
ι
:
g
∘
→
g
^
{\displaystyle \iota \colon {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}}
에 대하여
ρ
∘
=
ρ
∘
ι
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\rho }}=\rho \circ \iota }
이며
ρ
(
k
)
=
k
{\displaystyle \rho ({\mathsf {k}})=k}
가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 으로 가는 기약 표현
ρ
:
g
^
→
L
(
H
,
H
)
{\displaystyle \rho \colon {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathcal {L}}({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}
이 유일하게 존재한다.
단순 리 대수
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수
g
^
=
g
[
z
,
z
−
1
]
⊕
C
c
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}=\mathbb {g} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\oplus \mathbb {C} {\mathsf {c}}}
의 표현
V
{\displaystyle V}
가 주어졌다고 하자.
이 경우,
V
{\displaystyle V}
에 다음과 같은 비라소로 대수 의 표현이 존재한다.
L
n
=
1
k
+
h
∨
(
g
)
∑
m
∈
Z
η
a
b
(
x
a
z
m
)
(
x
b
z
−
m
)
(
n
≠
0
)
{\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}={\frac {1}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }\eta _{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})\qquad (n\neq 0)}
L
0
=
2
k
+
h
∨
(
g
)
∑
m
=
0
∞
η
a
b
(
x
a
z
m
)
(
x
b
z
−
m
)
{\displaystyle {\mathsf {L}}_{0}={\frac {2}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {g}})}}\sum _{m=0}^{\infty }\eta _{ab}(x^{a}{\mathsf {z}}^{m})(x^{b}{\mathsf {z}}^{-m})}
c
=
k
dim
g
∘
k
+
h
∨
(
g
∘
)
{\displaystyle {\mathsf {c}}={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}}
이를 스가와라 구성 ([菅原]構成, 영어 : Sugawara construction )이라고 한다.[7] [8] :(4.15), §4.2 여기서
h
∨
(
g
∘
)
{\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}
는 단순 리 대수
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 이중 콕서터 수 이다.
η
a
b
{\displaystyle \eta _{ab}}
는
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 킬링 형식 의 스칼라배이며, 이 비퇴화 이차 형식 에 따라서
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 근 가운데 가장 긴 것의 제곱 길이가 2이다. (만약 짧은 근이 존재한다면, 그 제곱 길이는 1이 된다.)
k
{\displaystyle {\mathsf {k}}}
는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다. 따라서 단순히 수로 취급할 수 있다.
합이 무한해 보이지만, 이들이 사다리 연산자 로 작용하므로, 실제로는 각 베르마 가군 에서 적절한 기저에서 각 기저 벡터의 경우 오직 유한 개의 항만이 작용하게 된다.
L
0
{\displaystyle {\mathsf {L}}_{0}}
의 정의가 특별한 것은 표준 순서 를 가했기 때문이다.
보다 일반적으로, 반단순 리 대수
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
의 표현
V
{\displaystyle V}
및 부분 단순 리 대수
h
∘
⊆
g
∘
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}\subseteq {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
에 대응하는 스가와라 구성
(
L
n
′
,
c
′
)
Z
{\displaystyle ({\mathsf {L}}'_{n},{\mathsf {c}}')_{\mathbb {Z} }}
및
h
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}
에 대응하는 스가와라 구성
(
L
n
″
,
c
″
)
Z
{\displaystyle ({\mathsf {L}}''_{n},{\mathsf {c}}'')_{\mathbb {Z} }}
이 주어진다. 이 경우,
L
n
=
L
n
′
−
L
n
″
{\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}={\mathsf {L}}'_{n}-{\mathsf {L}}''_{n}}
c
=
c
′
−
c
″
=
k
dim
g
∘
k
+
h
∨
(
g
∘
)
−
k
dim
h
∘
k
+
h
∨
(
h
∘
)
{\displaystyle {\mathsf {c}}={\mathsf {c}}'-{\mathsf {c}}''={\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}})}}-{\frac {{\mathsf {k}}\dim {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}}{{\mathsf {k}}+{\mathsf {h}}^{\vee }({\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}})}}}
를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다.[9] 이를 공액류 구성 (영어 : coset construction ) 또는 고더드-켄트-올리브 구성 (영어 : Goddard–Kent–Olive construction ) 또는 GKO 구성 (영어 : GKO construction )이라고 한다.
이를 통하여 비라소로 대수 의 모든
c
<
1
{\displaystyle c<1}
유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로,
c
=
1
−
6
/
(
k
+
2
)
(
k
+
3
)
{\displaystyle c=1-6/(k+2)(k+3)}
유니터리 표현을 구현하려면,
g
^
=
s
u
^
(
2
)
k
×
s
u
^
(
2
)
1
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k}\times {\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{1}}
h
^
=
s
u
^
(
2
)
k
+
1
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}={\widehat {\mathfrak {su}}}(2)_{k+1}}
를 취하면 된다. 여기서
h
∘
=
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {h}}}={\mathfrak {su}}(2)}
는
g
∘
=
s
u
(
2
)
⊕
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathfrak {g}}}={\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}
의 대각 성분이다. 이 경우
dim
s
u
(
2
)
=
3
{\displaystyle \dim {\mathfrak {su}}(2)=3}
h
∨
(
s
u
(
2
)
)
=
2
{\displaystyle {\mathsf {h}}^{\vee }({\mathfrak {su}}(2))=2}
이므로,
c
=
3
k
k
+
2
+
3
×
1
1
+
2
−
3
(
k
+
1
)
k
+
3
=
1
−
6
(
k
+
2
)
(
k
+
3
)
{\displaystyle {\mathsf {c}}={\frac {3k}{k+2}}+{\frac {3\times 1}{1+2}}-{\frac {3(k+1)}{k+3}}=1-{\frac {6}{(k+2)(k+3)}}}
임을 계산할 수 있다.
단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근
Δ
{\displaystyle \Delta }
에서,
δ
{\displaystyle \delta }
를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (
A
~
2
n
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {A}}_{2n}^{(2)}}
의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.
딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서
A
i
j
A
j
i
=
4
{\displaystyle A_{ij}A_{ji}=4}
인 경우)는
→
4
{\displaystyle {\xrightarrow {4}}}
및
↔
4
{\displaystyle {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}}
로 표기하였다. 이 경우
A
i
j
=
A
j
i
=
−
2
{\displaystyle A_{ij}=A_{ji}=-2}
인 경우는
↔
4
{\displaystyle {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}}
이며,
A
i
j
=
−
1
,
A
j
i
=
−
4
{\displaystyle A_{ij}=-1,\;A_{ji}=-4}
인 경우는
→
4
{\displaystyle {\xrightarrow {4}}}
이다.
기호[1] :53–55
타 기호[10] :24
타 기호[11] :6–12
타 기호[2] :94–95
바일 군 궤도 수
긴 실근의 동치류 수
짧은 실근의 동치류 수
딘킨 도표
콕서터 라벨[2] :94–95
쌍대 콕서터 라벨[2] :94–95 [10] :24–25
콕서터 수[1] :80
쌍대 콕서터 수[1] :80
A
~
1
{\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}
A
1
u
=
A
1
t
{\displaystyle A_{1}^{u}=A_{1}^{t}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
1
(
1
)
{\displaystyle A_{1}^{(1)}}
2
2
0
∙
↔
4
∙
{\displaystyle \bullet {\stackrel {4}{\leftrightarrow }}\bullet }
1
↔
4
1
{\displaystyle 1{\stackrel {4}{\leftrightarrow }}1}
2
A
~
n
{\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}
(
n
≥
2
)
{\displaystyle (n\geq 2)}
A
n
u
=
A
n
t
{\displaystyle A_{n}^{u}=A_{n}^{t}}
A
n
{\displaystyle A_{n}}
A
n
(
1
)
{\displaystyle A_{n}^{(1)}}
1
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle n(n+1)}
0
∙
<
∙
−
⋯
−
∙
∙
−
⋯
−
∙
>
∙
{\displaystyle \bullet <{\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\cdots -\bullet }>\bullet }
1
<
1
−
⋯
−
1
1
−
⋯
−
1
>
1
{\displaystyle 1<{1-\cdots -1 \atop 1-\cdots -1}>1}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
B
~
n
{\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}
B
n
u
{\displaystyle B_{n}^{u}}
B
n
{\displaystyle B_{n}}
B
n
(
1
)
{\displaystyle B_{n}^{(1)}}
2
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2n(n-1)}
2
n
{\displaystyle 2n}
(길이
1
{\displaystyle 1}
)
∙
⇐
∙
−
⋯
−
∙
<
∙
∙
{\displaystyle \bullet \Leftarrow \bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}
2
⇐
2
−
⋯
−
2
<
1
1
{\displaystyle 2\Leftarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}}
1
⇐
2
−
⋯
−
2
<
1
1
{\displaystyle 1\Leftarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}}
2
n
{\displaystyle 2n}
2
n
−
1
{\displaystyle 2n-1}
C
~
n
{\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}
C
n
u
{\displaystyle C_{n}^{u}}
C
n
{\displaystyle C_{n}}
C
n
(
1
)
{\displaystyle C_{n}^{(1)}}
3
2
n
{\displaystyle 2n}
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2n(n-1)}
(길이 1)
∙
⇒
∙
−
∙
−
⋯
−
∙
−
∙
⇐
∙
{\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Leftarrow \bullet }
1
⇒
2
−
2
−
⋯
−
2
−
2
⇐
1
{\displaystyle 1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Leftarrow 1}
1
⇒
1
−
1
−
⋯
−
1
−
1
⇐
1
{\displaystyle 1\Rightarrow 1-1-\cdots -1-1\Leftarrow 1}
2
n
{\displaystyle 2n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
D
~
n
{\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}
D
n
u
=
D
n
t
{\displaystyle D_{n}^{u}=D_{n}^{t}}
D
n
{\displaystyle D_{n}}
D
n
(
1
)
{\displaystyle D_{n}^{(1)}}
1
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2n(n-1)}
0
∙
∙
>
∙
−
∙
−
⋯
−
∙
<
∙
∙
{\displaystyle {\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}
1
1
>
2
−
2
−
⋯
−
2
<
1
1
{\displaystyle {1 \atop 1}>2-2-\cdots -2<{1 \atop 1}}
2
n
−
2
{\displaystyle 2n-2}
E
~
6
{\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}
E
6
u
=
E
6
t
{\displaystyle E_{6}^{u}=E_{6}^{t}}
E
6
{\displaystyle E_{6}}
E
6
(
1
)
{\displaystyle E_{6}^{(1)}}
1
72
0
∙
−
∙
∙
−
∙
>
∙
−
∙
−
∙
{\displaystyle {\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet }>\bullet -\bullet -\bullet }
1
−
2
1
−
2
>
3
−
2
−
1
{\displaystyle {1-2 \atop 1-2}>3-2-1}
12
E
~
7
{\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}
E
7
u
=
E
7
t
{\displaystyle E_{7}^{u}=E_{7}^{t}}
E
7
{\displaystyle E_{7}}
E
7
(
1
)
{\displaystyle E_{7}^{(1)}}
1
126
0
∙
−
∙
−
∙
∙
−
∙
−
∙
>
∙
−
∙
{\displaystyle {\bullet -\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet -\bullet }>\bullet -\bullet }
1
−
2
−
3
1
−
2
−
3
>
4
−
2
{\displaystyle {1-2-3 \atop 1-2-3}>4-2}
18
E
~
8
{\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}
E
8
u
=
E
8
t
{\displaystyle E_{8}^{u}=E_{8}^{t}}
E
8
{\displaystyle E_{8}}
E
8
(
1
)
{\displaystyle E_{8}^{(1)}}
1
240
0
∙
−
∙
∙
>
∙
−
∙
−
∙
−
∙
−
∙
−
∙
{\displaystyle {\bullet \atop {}}{- \atop {}}{\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }
2
−
4
3
>
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
{\displaystyle {2 \atop {}}{- \atop {}}{4 \atop 3}>6-5-4-3-2-1}
30
F
~
4
{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}
F
4
u
{\displaystyle F_{4}^{u}}
F
4
{\displaystyle F_{4}}
F
4
(
1
)
{\displaystyle F_{4}^{(1)}}
2
24
24 (길이 1)
∙
−
∙
−
∙
⇒
∙
−
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet }
1
−
2
−
3
⇒
4
−
2
{\displaystyle 1-2-3\Rightarrow 4-2}
1
−
2
−
3
⇒
2
−
1
{\displaystyle 1-2-3\Rightarrow 2-1}
12
9
G
~
2
{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
G
2
u
{\displaystyle G_{2}^{u}}
G
2
{\displaystyle G_{2}}
G
2
(
1
)
{\displaystyle G_{2}^{(1)}}
2
6
6 (길이
2
/
3
{\displaystyle {\sqrt {2/3}}}
)
∙
−
∙
⇛
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet \Rrightarrow \bullet }
1
−
2
⇛
3
{\displaystyle 1-2\Rrightarrow 3}
1
−
2
⇛
1
{\displaystyle 1-2\Rrightarrow 1}
6
4
A
~
2
n
−
1
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}^{(2)}}
C
n
t
{\displaystyle C_{n}^{t}}
B
n
∨
{\displaystyle B_{n}^{\vee }}
C
n
(
2
)
{\displaystyle C_{n}^{(2)}}
3
2
n
{\displaystyle 2n}
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2n(n-1)}
(길이 1)
∙
⇒
∙
−
⋯
−
∙
<
∙
∙
{\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}
1
⇒
2
−
⋯
−
2
<
1
1
{\displaystyle 1\Rightarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}}
2
⇒
2
−
⋯
−
2
<
1
1
{\displaystyle 2\Rightarrow 2-\cdots -2<{1 \atop 1}}
2
n
−
1
{\displaystyle 2n-1}
2
n
{\displaystyle 2n}
A
~
2
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}^{(2)}}
B
C
1
m
{\displaystyle BC_{1}^{m}}
B
C
1
{\displaystyle BC_{1}}
B
~
1
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {B}}_{1}^{(2)}}
2
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle 2}
(길이
1
/
2
{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}
)
∙
→
4
∙
{\displaystyle \bullet {\xrightarrow {4}}\bullet }
1
→
4
2
{\displaystyle 1{\xrightarrow {4}}2}
2
→
4
1
{\displaystyle 2{\xrightarrow {4}}1}
3
A
~
2
n
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {A}}_{2n}^{(2)}}
(
n
≥
2
)
{\displaystyle (n\geq 2)}
B
C
n
m
{\displaystyle BC_{n}^{m}}
B
C
n
{\displaystyle BC_{n}}
B
~
n
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {B}}_{n}^{(2)}}
3
2
n
{\displaystyle 2n}
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2n(n-1)}
(길이 1)
2
n
{\displaystyle 2n}
(길이
1
/
2
{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}
)
∙
⇒
∙
−
∙
−
⋯
−
∙
−
∙
⇒
∙
{\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet }
1
⇒
2
−
2
−
⋯
−
2
−
2
⇒
2
{\displaystyle 1\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 2}
2
⇒
2
−
2
−
⋯
−
2
−
2
⇒
1
{\displaystyle 2\Rightarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1}
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
D
~
4
(
3
)
{\displaystyle {\tilde {D}}_{4}^{(3)}}
G
2
t
{\displaystyle G_{2}^{t}}
G
2
∨
{\displaystyle G_{2}^{\vee }}
G
2
(
3
)
{\displaystyle G_{2}^{(3)}}
2
6
6 (길이
2
/
3
{\displaystyle {\sqrt {2/3}}}
)
∙
−
∙
⇚
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet \Lleftarrow \bullet }
1
−
2
⇚
1
{\displaystyle 1-2\Lleftarrow 1}
1
−
2
⇚
3
{\displaystyle 1-2\Lleftarrow 3}
4
6
D
~
n
+
1
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}^{(2)}}
B
n
t
{\displaystyle B_{n}^{t}}
C
n
∨
{\displaystyle C_{n}^{\vee }}
B
n
(
2
)
{\displaystyle B_{n}^{(2)}}
2
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2n(n-1)}
2
n
{\displaystyle 2n}
(길이 1)
∙
⇐
∙
−
∙
−
⋯
−
∙
−
∙
⇒
∙
{\displaystyle \bullet \Leftarrow \bullet -\bullet -\cdots -\bullet -\bullet \Rightarrow \bullet }
1
⇐
1
−
1
−
⋯
−
1
−
1
⇒
1
{\displaystyle 1\Leftarrow 1-1-\cdots -1-1\Rightarrow 1}
1
⇐
2
−
2
−
⋯
−
2
−
2
⇒
1
{\displaystyle 1\Leftarrow 2-2-\cdots -2-2\Rightarrow 1}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
2
n
{\displaystyle 2n}
E
~
6
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {E}}_{6}^{(2)}}
F
4
t
{\displaystyle F_{4}^{t}}
F
4
∨
{\displaystyle F_{4}^{\vee }}
F
4
(
2
)
{\displaystyle F_{4}^{(2)}}
2
24
24 (길이 1)
∙
−
∙
⇒
∙
−
∙
−
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet -\bullet }
1
−
2
⇒
3
−
2
−
1
{\displaystyle 1-2\Rightarrow 3-2-1}
2
−
4
⇒
3
−
2
−
1
{\displaystyle 2-4\Rightarrow 3-2-1}
9
12
아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수 의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
일 경우,
A
~
n
{\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}
의 카르탕 행렬은 다음과 같은
(
n
+
1
)
×
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)\times (n+1)}
대칭 정사각 행렬 이다.
Cartan
(
A
~
n
)
=
(
2
−
1
0
0
⋯
0
−
1
−
1
2
−
1
0
⋯
0
0
0
−
1
2
−
1
…
0
0
0
0
−
1
2
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0
0
0
⋯
2
−
1
−
1
0
0
0
⋯
−
1
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{n})={\begin{pmatrix}2&-1&0&0&\cdots &0&-1\\-1&2&-1&0&\cdots &0&0\\0&-1&2&-1&\dots &0&0\\0&0&-1&2&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &2&-1\\-1&0&0&0&\cdots &-1&2\end{pmatrix}}}
A
~
1
{\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}
의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
Cartan
(
A
~
1
)
=
(
2
−
2
−
2
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{1})={\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}}
A
~
n
{\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}
의 딘킨 도표 는
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
일 경우
n
+
1
{\displaystyle n+1}
개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프 이다.
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
일 때,
A
~
2
n
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {A}}_{2n}^{(2)}}
의 카르탕 행렬은 다음과 같은
(
n
+
1
)
×
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)\times (n+1)}
비대칭 정사각 행렬 이다.
Cartan
(
A
~
2
n
(
2
)
)
=
(
2
−
1
0
⋯
0
0
0
−
2
2
−
1
⋯
0
0
0
0
−
1
2
…
0
0
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
0
0
0
⋯
2
−
1
0
0
0
0
⋯
−
1
2
−
1
0
0
0
⋯
0
−
2
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{2n}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1&0&\cdots &0&0&0\\-2&2&-1&\cdots &0&0&0\\0&-1&2&\dots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &2&-1&0\\0&0&0&\cdots &-1&2&-1\\0&0&0&\cdots &0&-2&2\end{pmatrix}}}
여기서 행·열
0
,
1
,
…
,
n
{\displaystyle 0,1,\dots ,n}
의 순서는 다음과 같다.
α
0
⇒
α
1
−
⋯
−
α
n
−
1
⇒
α
n
{\displaystyle \alpha _{0}\Rightarrow \alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\Rightarrow \alpha _{n}}
A
~
2
(
2
)
{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}^{(2)}}
의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
Cartan
(
A
~
2
(
2
)
)
=
(
2
−
1
−
4
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {A}}_{2}^{(2)})={\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}}}
여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.
α
0
→
4
α
1
{\displaystyle \alpha _{0}{\xrightarrow {4}}\alpha _{1}}
G
~
2
{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
의 근계. 여기서
α
=
α
2
{\displaystyle \alpha =\alpha _{2}}
는
G
2
{\displaystyle G_{2}}
의 유일한 짧은 근,
β
=
α
1
{\displaystyle \beta =\alpha _{1}}
는
G
2
{\displaystyle G_{2}}
의 유일한 긴 근이며,
γ
=
a
1
α
1
+
a
2
α
2
=
δ
{\displaystyle \gamma =a_{1}\alpha _{1}+a_{2}\alpha _{2}=\delta }
이다. 양근은 붉은 색으로, 음은은 푸른 색으로 표시되었다. 이에 대응하는 반사
ψ
α
{\displaystyle \psi _{\alpha }}
,
ψ
β
{\displaystyle \psi _{\beta }}
,
ψ
γ
{\displaystyle \psi _{\gamma }}
는
G
~
2
{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
의 바일 군을 생성하며, 바일 군의 기본 벽감(fundamental alcove)는 직각삼각형
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
이다.
G
~
2
{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
Cartan
(
G
~
2
)
=
(
2
−
1
0
−
1
2
−
1
0
−
3
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {G}}_{2})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&2\end{pmatrix}}}
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
α
0
−
α
1
⇛
α
2
{\displaystyle \alpha _{0}-\alpha _{1}\Rrightarrow \alpha _{2}}
이다.
D
~
4
(
3
)
{\displaystyle {\tilde {D}}_{4}^{(3)}}
의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
Cartan
(
D
~
4
(
3
)
)
=
(
2
−
1
0
−
1
2
−
3
0
−
1
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cartan} ({\tilde {D}}_{4}^{(3)})={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-3\\0&-1&2\end{pmatrix}}}
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
α
0
−
α
1
⇚
α
2
{\displaystyle \alpha _{0}-\alpha _{1}\Lleftarrow \alpha _{2}}
이다.
g
=
C
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {C} }
가 1차원 아벨 리 대수 라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수
C
[
z
,
z
−
1
]
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]}
역시 아벨 리 대수 이다. 이 경우, 중심 확대
0
→
C
k
→
g
^
→
C
[
z
,
z
−
1
]
→
0
{\displaystyle 0\to \mathbb {C} {\mathsf {k}}\to {\hat {\mathfrak {g}}}\to \mathbb {C} [{\mathsf {z}},{\mathsf {z}}^{-1}]\to 0}
에서
[
z
m
,
z
n
]
=
δ
m
+
n
,
0
m
k
{\displaystyle [{\mathsf {z}}^{m},{\mathsf {z}}^{n}]=\delta _{m+n,0}m{\mathsf {k}}}
[
k
,
z
m
]
=
0
{\displaystyle [{\mathsf {k}},{\mathsf {z}}^{m}]=0}
이 된다. 이 경우,
z
−
n
=
n
p
n
(
n
>
0
)
{\displaystyle {\mathsf {z}}^{-n}={\sqrt {n}}{\mathsf {p}}_{n}\qquad (n>0)}
z
n
=
n
q
n
(
n
>
0
)
{\displaystyle {\mathsf {z}}^{n}={\sqrt {n}}{\mathsf {q}}_{n}\qquad (n>0)}
k
=
ℏ
{\displaystyle {\mathsf {k}}=\hbar }
로 놓으면,
[
q
m
,
p
n
]
=
δ
m
,
n
ℏ
{\displaystyle [{\mathsf {q}}_{m},{\mathsf {p}}_{n}]=\delta _{m,n}\hbar }
가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수 와 (
z
0
{\displaystyle {\mathsf {z}}^{0}}
으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수 의 직합 이 된다.[7] :§2.4 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간
C
[
x
1
,
x
2
,
⋯
]
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsb ]}
위에 표준적으로 작용한다.[7] :(2.19)
이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.[7] :(2.23)
L
n
=
−
1
2
∑
m
∈
Z
z
min
{
m
,
n
−
m
}
z
max
{
m
,
n
−
m
}
{\displaystyle {\mathsf {L}}_{n}=-{\frac {1}{2}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\mathsf {z}}^{\min\{m,n-m\}}{\mathsf {z}}^{\max\{m,n-m\}}}
c
=
1
{\displaystyle {\mathsf {c}}=1}
물리학적으로, 이는 자유 보손 에 대한 2차원 등각 장론 에 해당한다.
아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수 와 함께) 빅토르 카츠 와 로버트 무디(영어 : Robert Moody )가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군 이 근계 에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.
스가와라 구성은 스가와라 히로타카(일본어 : 菅原 寛孝 ( すがわら ひろたか ) )가 1968년에 발견하였다.[12] 공액 구성은 피터 고더드(영어 : Peter Goddard , 1945〜) · 에이드리언 켄트(영어 : Adrian Kent ) · 데이비드 올리브(영어 : David Olive , 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.[13]
[9]
↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 Kac, Victor G. (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》 (영어) 3판. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626234 . ISBN 978-0-521-37215-2 . MR 1104219 . Zbl 0716.17022 .
↑ 가 나 다 라 마 Fuchs, Jürgen A. (1995년 3월). 《Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory》 . Cambridge Monographs on Mathematical Physics (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052148412-1 . MR 1337497 . Zbl 0952.17016 .
↑ 가 나 다 Frenkel, I. B. (1987). 〈Beyond affine Lie algebras〉 (PDF) . 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986. Volume Ⅰ》 (영어). 821–839쪽.
↑ Di Francesco, P.; Mathieu, P.; Sénéchal, D. (1997). 《Conformal field theory》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94785-X .
↑ Kohno, Toshitake (1998). 《Conformal field theory and topology》. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2130-X .
↑ Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). 《Loop groups》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853535-X .
↑ 가 나 다 라 Schlichenmaier, Martin (1998). “Sugawara construction for higher genus Riemann surfaces” (영어). arXiv :math/9806032 .
↑ Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv :hep-th/9904145 .
↑ 가 나 Goddard, Peter; Kent, Adrian; Olive, David (1986). “Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 103 (1): 105–119. doi :10.1007/BF01464283 . ISSN 0010-3616 . MR 0826859 . Zbl 0588.17014 .
↑ 가 나 Nauta, Jan S. (2012년 4월 20일). 《Affine Lie algebras and affine root systems》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. 암스테르담 대학교 . [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )]
↑ Macdonald, I. G. (2003). 《Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 157 . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511542824 . ISBN 978-052182472-9 .
↑ Sugawara, Hirotaka (1968). “A field theory of currents”. 《Physical Review》 (영어) 176 : 2019–2025. Bibcode :1968PhRv..170.1659S . doi :10.1103/PhysRev.170.1659 .
↑ Goddard, Peter; Kent, A.; Olive, D. (1985). “Virasoro algebras and coset space models”. 《Physics Letters B》 (영어) 152 : 88.