Machtsverheffen is een wiskundige bewerking, die wordt geschreven als , waarbij twee getallen, het grondtal of de factor en de exponent , betrokken zijn. Als een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging, met andere woorden, een product van factoren van :

,

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeenkomt met herhaald optellen:

De uitdrukking heet macht van , het is de -de macht van .

Deze uitdrukking wordt uitgesproken als: tot de macht , of tot de -de macht, of ook kortweg tot de -de. Zo is tot de macht ofwel tot de derde: , met als het grondtal en als de exponent van de macht .

Machtsverheffen is een rekenkundige operatie van de derde orde.

Het berekenen van een macht kan vaak efficiënt worden uitgevoerd door de machten van x herhaald te kwadrateren.

Geschiedenis

bewerken

De notaties   voor het kwadraat en   als afkortingen voor   en   komen voor bij Thomas Harriot in zijn postume werk Artis analyticae praxis uit 1631. René Descartes maakte uitgebreid gebruik van die notatie voor positieve gehele exponenten. John Wallis definieerde negatieve en gebroken exponenten.[1]

Definitie

bewerken

Voor het natuurlijke getal   is de  -de macht van het grondtal  , genoteerd als  , gedefinieerd als het product van   factoren  .

Uit deze definitie volgt ook dat

 

De gebruikelijke notatie is om de exponent  , die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven, met een superscript.

Voor   is een aparte definitie nodig. Voor   is de gebruikelijke definitie:

 

Met deze definitie blijft de betrekking   geldig voor  .

Er zijn negatieve exponenten mogelijk door te definiëren dat:

 

en gebroken exponenten met

 

Rekenen met machten

bewerken

Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor   is:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Deze regel houdt bijvoorbeeld in dat  . Deze laatste twee regels zijn voor de reële getallen alleen gedefinieerd voor  , maar is in het complexe vlak voor alle   gedefinieerd.
  •  

en voor  

  •   voor  
  •   wordt om verschillende redenen meestal gedefinieerd als   te stellen.

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal   geldt:

 

Machtsverheffen is geen associatieve bewerking, bijvoorbeeld  .

Daar machtsverheffen niet commutatief is,   terwijl  , zijn er twee inverse bewerkingen: worteltrekken en logaritme

  en  
  en  

Afgeleide

bewerken

Het maakt met differentiëren van een functie waarin machtsverheffen voorkomt verschil dat de variabele   waarnaar wordt gedifferentieerd in het grondtal staat of in de exponent:

  • de afgeleide van   is   en
  • de afgeleide van   is  , waarin   de natuurlijke logaritme van   is.

Machten en complexe getallen

bewerken

Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

 

Reeksontwikkeling met machten

bewerken

Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten worden geschreven. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie. Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen   en  , met  , geldt

 

Nul tot de macht nul

bewerken

Het ligt aan de hand van de rekenkundige bewerkingen niet voor de hand hoe   moet worden gedefinieerd. Het wordt meestal zo gedefinieerd dat  , bijvoorbeeld in de IEEE-standaard. Er volgen hieronder een aantal argumenten ervoor dat zo te doen.

  • Combinatorisch stelt   het aantal afbeeldingen voor van een verzameling van   elementen in een verzameling van   elementen. Doorredenerend is   het aantal afbeeldingen van de lege verzameling in de lege verzameling. Dat is er precies 1 (de lege functie).
  • Een machtreeks als   is anders niet gedefinieerd voor  . Dat kan nog eventueel anders worden geschreven als  .
  • Hetzelfde geldt voor het binomium van Newton.   is zonder deze afspraak niet gedefinieerd voor  .
  • Substitutie van   in de afgeleide   van   geeft voor   dat   gelijk aan 1 moet zijn.   is anders niet continu in  .
  • De stelling dat men bij machtsverheffing modulo   het grondtal mag herleiden klopt alleen als  .

Herhaald kwadrateren

bewerken

Een macht   van   kan vaak efficiënt worden berekend door de machten van x herhaald te kwadrateren.

Zo kan   worden uitgerekend door eerst de derdemacht door twee keer vermenigvuldigen uit te rekenen en vervolgens het resultaat nog twee keer te kwadrateren. Dit is vooral voordelig bij grote waarden van   zoals die in de cryptografie optreden.

Websites

bewerken