Aksjomaty oddzielania
Ten artykuł od 2012-10 wymaga zweryfikowania podanych informacji: oddzielić T-aksjomaty od zwyczajowych (por. schemat). |
Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Separation_axioms.png/250px-Separation_axioms.png)
W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T2 (patrz poniżej).
W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.
Ciąg główny aksjomatów oddzielania
edytujWśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów jest ustalone.
Niech będzie topologią na zbiorze Powiemy, że przestrzeń topologiczna spełnia aksjomat:
- T0, jeśli
- dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje zbiór otwarty w który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;
- T1, jeśli
- dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje zbiór otwarty taki, że ale
- T2, jeśli
- dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieją rozłączne zbiory otwarte i takie, że i
- T3, jeśli
- spełnia aksjomat i dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie, że i
- T3 1/2, jeśli
- spełnia aksjomat i dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć funkcję ciągłą taką, że i dla wszystkich punktów
- T4, jeśli
- spełnia aksjomat i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych (czyli ) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie, że i
- T5, jeśli
- każda podprzestrzeń przestrzeni spełnia aksjomat
- T6, jeśli
- spełnia aksjomat i każdy domknięty podzbiór jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat ” mówimy po prostu, że jest Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.
Własności i przykłady
edytuj- Każda przestrzeń metryczna jest
- Zachodzą następujące implikacje:
gdzie należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat spełnia także aksjomat . Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.
- Aksjomaty są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu czyli dziedzicznej normalności.
- Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności są zaliczane do aksjomatów oddzielania:
- Przestrzeń T1 spełnia aksjomat wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów takich, że istnieją zbiory otwarte takie, że i
- Przestrzeń T1 spełnia aksjomat wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów istnieje funkcja ciągła taka, że i