Asymptotyczne tempo wzrostu – miara określająca zachowanie wartości funkcji wraz ze wzrostem jej argumentów. Stosowane jest szczególnie często w teorii obliczeń, w celu opisu złożoności obliczeniowej, czyli zależności ilości potrzebnych zasobów (np. czasu lub pamięci) od rozmiaru danych wejściowych algorytmu. Asymptotyczne tempo wzrostu opisuje jak szybko dana funkcja rośnie lub maleje, abstrahując od konkretnej postaci tych zmian.
Do opisu asymptotycznego tempa wzrostu stosuje się notację dużego
(omikron; U+039F, kod HTML: Ο
, Math: \Omicron
) oraz jego modyfikacje, m.in. notacja
(omega),
(theta).
Notacja dużego
została zaproponowana po raz pierwszy w roku 1894 przez niemieckiego matematyka Paula Bachmanna(inne języki)[1]. W późniejszych latach spopularyzował ją w swoich pracach Edmund Landau, niemiecki matematyk, stąd czasem nazywana jest notacją Landaua.
Niech będą dane funkcje oraz których dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, natomiast przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
Mówimy, że jest co najwyżej rzędu gdy istnieją takie stałe oraz że:
-
Zapis:
Określenia „złożoność co najwyżej ” i „złożoność ” są matematycznie równoważne.
Wersja notacji dla zachowania się funkcji w pobliżu punktu
jeżeli istnieje takie i takie że dla każdego o tej własności, że zachodzi nierówność:
-
Należy zauważyć, że nie precyzuje się tu dziedziny funkcji i – zależy ona od kontekstu, w jakim występują obie funkcje.
Mówimy, że jest niższego rzędu niż gdy dla każdej stałej istnieje stała że:
-
Zapis:
Mówimy, że jest co najmniej rzędu gdy istnieją takie stałe oraz że:
-
Zapis:
Mówimy, że jest wyższego rzędu niż gdy dla każdej stałej istnieje stała że:
-
Zapis:
Mówimy, że jest dokładnie rzędu gdy istnieją takie stałe oraz i że:
-
Zapis:
Można powiedzieć, że gdy jest jednocześnie rzędu i
Notacja dużego pozwala wykonywać działania na funkcjach, na przykład:
- jeśli i to również
- przy założeniach jak poprzednio,
Wygoda notacji dużego widoczna jest w następującej sytuacji: jeżeli to można napisać zarówno jak i czy wreszcie zależnie od wymaganej dokładności oszacowań.
Napis należy rozumieć jako
Zależności algebraiczne Ο, ο, Ω, ω, Θ
edytuj
Notacja
|
Warunek wystarczający
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Trychotomia może nie wystąpić w żadnym przypadku (lecz może w przypadku niektórych funkcji i argumentów). Przechodniość, zwrotność, symetria, symetria transpozycyjna są zawsze prawdziwe tylko w przypadku wymienionych zależności funkcji asymptotycznie dodatnich[2].
Przechodniość:
-
-
-
-
-
Zwrotność:
-
-
-
Symetria:
-
Symetria transpozycyjna:
-
-
Dla dowolnych dwóch funkcji i zachodzi zależność:
- [2]
Zapis stosowany przez rosyjskiego matematyka, Iwana Winogradowa, utrwalił się w literaturze, szczególnie w analitycznej teorii liczb, choć w praktyce jest ona równoważna z notacją dużego „O”.
Mówimy, że jest dominowane przez jeśli
Analogicznie, powiemy, że jest dominowane przez jeśli
Notacja „ ”
edytuj
- Jeżeli oraz to oraz ale również
- Niech Korzystając ze wzorów sumacyjnych: a zatem
- Jeżeli potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie to na podstawie tego samego wzoru sumacyjnego można napisać
- Analogicznie można napisać, że
Najczęstszym zastosowaniem asymptotycznego tempa wzrostu jest szacowanie złożoności problemów obliczeniowych, w szczególności algorytmów. Oszacowanie rzędów złożoności obliczeniowej funkcji pozwala na porównywanie ilości zasobów (np. czasu, pamięci), jakich wymagają do rozwiązania problemu opisanego określoną ilością danych wejściowych. W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że im niższy rząd złożoności obliczeniowej algorytmu, tym będzie on wydajniejszy przy coraz większym rozmiarze problemu (np. ilości danych do algorytmu).
W praktyce na efektywność algorytmu wpływa duża ilość innych czynników, w tym szczegóły realizacji. Ponadto dla małych danych wejściowych asymptotyczne tempo wzrostu może nie oddawać zachowania funkcji – np. gdy (funkcja liniowa ) i (funkcja logarytmiczna ), zachodzi oszacowanie ( asymptotycznie rośnie szybciej niż gdyż ), ale dla wartość funkcji jest mniejsza niż funkcji
Istnieje również wiele sytuacji, kiedy algorytm ma lepszą złożoność obliczeniową niż inne, ale nie stosuje się go, ponieważ jego przewaga w faktycznej implementacji jest widoczna dopiero dla gigantycznych (i kompletnie niepraktycznych) wielkości wejścia, lub ma inne wady (na przykład niestabilność numeryczną – porównaj algorytm Strassena). Innym powodem może być na przykład fakt, że algorytm ma lepszą złożoność czasową, ale gorszą złożoność pamięciową i vice-versa (tzw. space-time tradeoff).
Standardowe oszacowania
edytuj
notacja |
ograniczenie |
rząd złożoności obliczeniowej
|
|
funkcją stałą |
złożoność stała (niezależna od rozmiaru danych wejściowych)
|
|
funkcją logarytmiczną[a] |
złożoność logarytmiczna
|
|
funkcją liniową |
złożoność liniowa
|
|
|
złożoność liniowo-logarytmiczna (lub quasi-liniowa)
|
|
funkcją kwadratową |
złożoność kwadratowa
|
|
wielomianem |
złożoność wielomianowa
|
|
funkcją wykładniczą |
złożoność wykładnicza
|
|
silnią |
|
- ↑ Podstawa logarytmu może być dowolna większa niż 1, gdyż funkcje logarytmiczne są do siebie proporcjonalne, a pomnożenie przez stałą nie ma znaczenia dla notacji dużego
- ↑ Ronald L Graham, Donald Ervin Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 489. ISBN 83-01-13906-4.
- ↑ a b Thomas H.T.H. Cormen Thomas H.T.H. i inni, Wprowadzenie do algorytmów, KrzysztofK. Diks i inni, Wydanie VII (I w PWN), Warszawa: PWN, 2015 . Brak numerów stron w książce