Diament Jensena

Diament Jensena ${\displaystyle \diamondsuit }$  to następujące zdanie:

Istnieje taki ciąg ${\displaystyle \langle A_{\alpha }\colon \alpha <\omega _{1}\rangle ,}$  że

${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$  dla każdej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha <\omega _{1}}$  oraz

dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \omega _{1},}$  zbiór ${\displaystyle \{\alpha <\omega _{1}\colon A_{\alpha }=A\cap \alpha \}}$  jest stacjonarny.

${\displaystyle \diamondsuit ^{+}}$  to zdanie:

Istnieje taki ciąg ${\displaystyle \langle {\mathcal {A}}_{\alpha }\colon \alpha <\omega _{1}\rangle ,}$  że

dla każdej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha <\omega _{1},}$  ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha }}$  jest przeliczalną rodziną podzbiorów ${\displaystyle \alpha }$  oraz

dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \omega _{1}}$  istnieje club ${\displaystyle C\subseteq \omega _{1}}$  taki, że

${\displaystyle (\forall \alpha \in C)(A\cap \alpha \in {\mathcal {A}}_{\alpha }\ \wedge \ C\cap \alpha \in {\mathcal {A}}_{\alpha }).}$ 

${\displaystyle \diamondsuit ^{-}}$  to zdanie:

Istnieje taki ciąg ${\displaystyle \langle {\mathcal {A}}_{\alpha }\colon \alpha <\omega _{1}\rangle ,}$  że

dla każdej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha <\omega _{1},}$  ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha }}$  jest przeliczalną rodziną podzbiorów ${\displaystyle \alpha }$  oraz

dla każdego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \omega _{1},}$  zbiór ${\displaystyle \{\alpha <\omega _{1}\colon A\cap \alpha \in {\mathcal {A}}_{\alpha }\}}$  jest stacjonarny.

Następujące twierdzenia są dowodliwe w ${\displaystyle \mathbf {ZFC} {:}}$ 

• ${\displaystyle \diamondsuit \ \Rightarrow \ \mathbf {CH} .}$ 
• Jeśli ${\displaystyle \diamondsuit }$  jest prawdziwy, to istnieje ω₁-drzewo Suslina. Zatem przy założeniu ${\displaystyle \diamondsuit ,}$ 

  (a) istnieje porządek liniowy bez końców, w którym każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna, ale który nie zawiera żadnego przeliczalnego podzbioru gęstego;

  (b) istnieje przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$  która jest przestrzenią Suslina (tzn. każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów ${\displaystyle X}$  jest co najwyżej przeliczalna), ale której produkt ${\displaystyle X\times X}$  nie jest przestrzenia Suslina (zdanie to jest mimo to dowodliwe pod założeniem samej hipotezy continuum^[2]).

• ${\displaystyle \diamondsuit ^{+}\ \Rightarrow \diamondsuit .}$ 
• ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {L} \ \Rightarrow \diamondsuit ^{+}.}$ 
• Jeśli ${\displaystyle \diamondsuit ^{+}}$  jest prawdziwy, to istnieje ${\displaystyle \omega _{1}}$ -drzewo Kurepy (z ${\displaystyle 2^{\omega _{1}}}$  gałęziami długości ${\displaystyle \omega _{1}}$ ).
• Zdania ${\displaystyle \diamondsuit }$  i ${\displaystyle \diamondsuit ^{-}}$  są równoważne.

• aksjomat Martina
• zasada kwadratu Jensena

• Kenneth Kunen: Set theory. An introduction to independence proofs. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam New York, 1980. ISBN 0-444-85401-0, s. 80–86.