Obliczanie rzędu macierzy
edytuj
Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa, należy za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.
Przykładowo: macierz poprzez dokonanie operacji elementarnych:
-
odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza,
-
zamiany 2. i 3. wiersza,
-
odjęcia wiersza 2. od wiersza 4.
-
odjęcia 3. wiersza od 4. wiersza
-
sprowadzono do macierzy schodkowej. Rząd tej macierzy łatwo odczytać, bowiem jest on równy liczbie jej „schodków”, czyli liczbie wierszy pomniejszonej o liczbę wierszy zerowych. W tym przypadku rząd macierzy równy jest 3.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
edytuj
Rozwiązując układ równań liniowych z niewiadomymi, należy za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach (można zamieniać kolumny miejscami) sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.
Układ wyjściowy:
-
Macierz rozszerzona tego układu:
-
Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):
-
Rząd macierzy głównej
-
jest równy 3, czyli równy rzędowi macierzy rozszerzonej
-
oraz mniejszy od liczby szukanych niewiadomych.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Rozwiązujemy układ:
-
Przyjmując parametr za i rozwiązując układ od dołu, uzyskujemy:
-
-
-
-
Zatem rozwiązaniem układu są czwórki:
-
gdzie jest dowolnym elementem z ciała, w którym szuka się rozwiązania (na przykład, ).
Obliczanie macierzy odwrotnej
edytuj
Aby obliczyć macierz odwrotną macierzy nieosobliwej o stopniu należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz blokową do postaci Powstała macierz jest szukaną macierzą odwrotną do macierzy Symbolicznie można zapisać:
Wyjściowa macierz:
-
Jej wyznacznik jest równy 2, czyli macierz odwrotna istnieje. Macierz blokowa ma postać:
-
Wykonując następujące operacje elementarne na wierszach:
- (1) W2 – 3/7·W1 (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3/7 wiersz pierwszy),
- (2) 1/7·W1 (pierwszy wiersz pomnożyć przez 1/7),
- (3) 7/2·W2 (drugi wiersz pomnożyć przez 7/2),
- (4) W1 – 4/7·W2 (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 4/7 wiersz drugi);
przedstawione poniżej:
-
- ← po operacjach (2) i (3)
-
lub w inny sposób (w 3. operacjach elementarnych):
- (1) W1 – 2·W2 (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 2 wiersz drugi),
- (2) W2 – 3·W1 (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3 wiersz pierwszy);
- (3) 1/2·W2 (wiersz drugi pomnożyć przez 1/2);
otrzymujemy macierz:
-
która jest macierzą odwrotną do macierzy wyjściowej.