Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci[1]:
[2]
Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego
![{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622414732ffe7bc0ad12828930de20f135908faa)
nazywają się liczbami harmonicznymi.
Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących[2]:
![{\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {1}{n-1}},{\frac {1}{n+1}}\right)={\frac {2}{\left({\frac {1}{n-1}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{-1}}}={\frac {2}{(n-1)+(n+1)}}={\frac {1}{n}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0262dff29efb72d26ce64901bd1afd5121629c41)
Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.
Rozbieżność szeregu harmonicznego
edytuj
Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności[3]
-
Dowód Mikołaja z Oresme
edytuj
Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.
Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.
-
Ponieważ
-
-
-
i ogólnie
-
więc
-
Oznacza to, że ciąg sum częściowych jest rozbieżny do [4].
W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli[5].
Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:
-
Ponieważ
-
-
-
i ogólnie
-
więc
-
co w efekcie daje
-
Oznacza to, że ciąg sum częściowych nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.
Bradley podał w roku 2000[6] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność
-
a stąd
-
Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
-
Ponieważ
-
zachodzi
-
Ciąg liczb harmonicznych
edytuj
Ciąg liczb harmonicznych jest rozbieżny do ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:
-
gdzie = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby jest dane wzorem
-
Uogólniony szereg harmoniczny postaci
-
jest rozbieżny przy dowolnych wartościach
Euler udowodnił rozbieżność szeregu
-
gdzie jest -tą liczbą pierwszą.
Szeregi harmoniczne wyższych rzędów
edytuj
Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:
- [2]
Szereg ten jest zbieżny dla [7] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta Riemanna:
-
Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.
Ponadto, szereg naprzemienny
-
jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.
Natomiast szereg:
-
gdzie to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe co jest szeregiem zbieżnym.
- ↑ szereg harmoniczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-07-19] .
- ↑ a b c Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 277, ISBN 83-02-02551-8 .
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 118.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 226.
- ↑ KrzysztofK. Maślanka KrzysztofK., Pietro Mengoli i szeregi liczbowe, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki”, 49 (1), 2004, s. 47–64 [dostęp 2019-02-08] (pol.).
- ↑ D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.