Niech
będzie kratą rozdzielną.
Wówczas krata dualna
do
także jest rozdzielna.
Jeśli teraz
w
to
w
Na mocy twierdzenia o ideale pierwszym, istnieje w
ideał pierwszy
dla którego
Wówczas jak się okazuje
jest filtrem pierwszym w wyjściowej kracie
Tym samym wykazaliśmy:
- Niech
będzie kratą rozdzielną i niech
Wówczas istnieje w
filtr pierwszy
dla którego ![{\displaystyle a\in F\,,\;b\not \in F.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc45eae411bba0d5f15908285bb7df7d8a11c727)