Ułamki proste
Ten artykuł od 2012-01 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:
- mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
- licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1).
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.
To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni.
Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych.
Możliwe postaci ułamka prostego
edytujW ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych[1]:
W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach zespolonych
Przykłady rozkładu
edytuj- tutaj
- tutaj
Aby znaleźć współczynniki stosuje się metodę współczynników nieoznaczonych. W tym celu wystarczy prawą stronę sprowadzić do wspólnego mianownika i wielomian w jej liczniku uporządkować według zmiennej. Na przykład w ostatnim punkcie powstanie wielomian
Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej do odpowiednich współczynników wielomianu z lewej strony (tu jest wielomian stały) otrzymuje się układ równań, po rozwiązaniu którego otrzymuje się wartości współczynników
Przypisy
edytuj- ↑ ułamek prosty, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
Linki zewnętrzne
edytujSzymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:
- Rozkład na ułamki proste cz. 1, 26 czerwca 2013.
- Rozkład na ułamki proste cz. 2, 26 czerwca 2013.
- Rozkład na ułamki proste cz. 3, 26 czerwca 2013.
- Całkowanie funkcji wymiernej przez rozkład na ułamki proste, 31 maja 2015.