W zapisie wektorowym wzory Freneta mają następującą postać
-
-
-
-
gdzie[1]:
- – parametr naturalny krzywej (długość łuku),
- – wektor wodzący punktu na krzywej,
- – wektor styczny,
- – wektor normalnej głównej,
- – wektor binormalny,
- – wektor krzywizny,
- – promień krzywizny,
- – krzywizna krzywej,
- – promień torsji krzywej (promień drugiej krzywizny),
- – torsja krzywej (druga krzywizna),
- – wektory normalne płaszczyzn: ściśle stycznej i prostującej.
Z punktem na krzywej przestrzennej można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez wersory Drugi prawoskrętny układ wersorów jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory
| |
-
-
|
|
(1.1) |
gdzie:
| | |
|
(1.2) |
a trzeci jest definiowany[1] wzorem
| |
-
|
|
(1.3) |
Jeżeli krzywa leży na płaszczyźnie o normalnej to wektor binormalnej do tej krzywej w każdym jej punkcie jest stały i Płaszczyzna jest w tym przypadku płaszczyzną ściśle styczną dla dowolnego punktu krzywej
W analizie przestrzennych właściwości krzywych istotną rolę odgrywają pochodne wersorów krawędzi trójścianu Freneta.
Na podstawie wzoru (1.1) mamy
| |
-
|
|
(1.4) |
i różniczkując wzór (1.3), otrzymujemy
| |
-
|
|
(1.5) |
ponieważ i są kolinearne. Ponadto z (1.5) wynika, że a ponieważ również
więc
| |
-
|
|
(1.6) |
gdzie jest torsją krzywej w punkcie określoną wzorem (1.8).
Teraz można już obliczyć pochodną normalnej głównej, korzystając ze wzoru
| |
-
|
|
(1.7) |
Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi
|
x |
y |
z
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wzory dla pochodnych wersorów Freneta zestawiono poniżej[1].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Torsję krzywej można obliczyć, korzystając ze wzoru (1.6) po uwzględnieniu (1.1) i (1.5)
| |
-
|
|
(1.8) |
dzięki temu, że
Torsja określona w dowolnym punkcie krzywej wzorem stanowi pewną miarę zwichrowania tej krzywej w bliskim otoczeniu punktu Polega ono na wychylaniu się krzywej z jej płaszczyzny ściśle do niej stycznej w tym punkcie. Gdy torsja ma wartość zerową krzywa w otoczeniu punktu jest płaska, bez zwichrowania.
Dana jest krzywa przestrzenna opisana parametrycznie równaniami[2]
| |
-
|
|
(1) |
Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty odpowiadające dwom wartościom parametru Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem
| |
-
|
|
(2) |
Dzieląc mianowniki przez i przechodząc do granicy otrzymujemy równanie linii stycznej do krzywej w punkcie
| |
-
|
|
(3) |
gdzie przez oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie
Równanie o postaci (3) jest konsekwencją kolinearności wektorów i
Równanie płaszczyzny normalnej (prostopadłej) do krzywej w punkcie można zapisać w postaci[2] iloczynu skalarnego wektora stycznego do niej z dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie
| |
-
|
|
(4) |
Równanie płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej w punkcie zapiszemy w postaci
| |
-
|
|
(5) |
Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne takiego wektora który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej
Rozważmy równanie takiej płaszczyzny na której leży styczna i która
- przechodzi przez punkt – a zatem każdy jej wektor jest prostopadły do
| |
-
|
|
(6) |
oraz
- każdy wektor leżący na płaszczyźnie jest prostopadły do
| |
-
|
|
(7) |
Wektor jest również prostopadły do wektora stycznego który leży na
| |
-
|
|
(8) |
Wykorzystując wzór Taylora zamiast (7), możemy napisać
| |
-
|
|
(9) |
gdzie
Po uwzględnieniu (8) i (9) otrzymujemy
| |
-
|
|
(10) |
Można teraz z (8) i (10) wyznaczyć niewiadome i na podstawie (6) otrzymuje się, po przejściu do granicy
| |
-
|
|
(11) |
Tak więc wektor prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ma współrzędne
| |
|
|
(12) |
Przez punkt krzywej przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny tworzące trójścian Freneta[3]:
- ściśle styczna (o wektorze normalnym ) – równanie (5) i (12),
- normalna (o wektorze normalnym ) – równanie (4),
- prostująca (o wektorze normalnym ) – prostopadła do dwu poprzednich. Jej równanie ma postać
| |
-
|
|
(13) |
Wektor jest prostopadły do obydwu wektorów i i dlatego muszą być spełnione dwa równania
| |
-
|
|
(14) |
| |
-
|
|
(15) |
Rozwiązanie równań (13) i (15) ma postać wzorów
| |
-
|
|
(16) |
Krawędziami trójścianu Freneta są proste:
- styczna – o wersorze i równaniu (3),
- normalna główna – o wersorze i prostopadła do płaszczyzny prostującej, określona równaniem
| |
-
|
|
(17) |
- binormalna – o wersorze i prostopadła do płaszczyzny ściśle stycznej, określona równaniem
| |
-
|
|
(18) |
Zachodzą przy tym następujące tożsamości
| |
- (lub ),
|
|
(19) |
| |
- (lub ).
|
|
(20) |
- Krzywizna i torsja krzywej
Płaszczyzna normalna do krzywej w jej punkcie opisana jest równaniem
| |
-
|
|
(21) |
gdzie jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie
Przecina ona normalną główną (17) w punkcie o współrzędnych
| |
-
|
|
(22) |
Po podstawieniu (22) do (21) i uwzględnieniu (15) otrzymujemy wartość parametru
| |
-
|
|
(23) |
określającą położenie punktu na kierunku normalnej głównej.
Po podzieleniu licznika i mianownika przez i po przejściu do granicy otrzymujemy
| |
-
|
|
(24) |
Gdy punkt dąży do punktu punkt dąży do punktu o współrzędnych
| |
-
|
|
(25) |
Po wykorzystaniu tożsamości (19) otrzymujemy
| |
-
|
|
(26) |
Punkt o współrzędnych (25) nazywany jest środkiem krzywizny krzywej w jej punkcie
Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej o współrzędnych jest krzywa zwana ewolutą krzywej
Odległość punktu od punktu jest tak zwanym promieniem krzywizny krzywej w jej punkcie Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów (25) po uwzględnieniu tożsamości (20)
-
| |
-
|
|
(27) |
Krzywiznę krzywej określa wzór
| |
-
|
|
(28) |
Krzywizna nazywana jest pierwszą krzywizną krzywej dla odróżnienia jej od drugiej krzywizny nazywanej torsją krzywej. Torsja jest miarą skrętu krzywej związanego z obrotem trójścianu Freneta dokoła osi stycznej. Obrót ten można obliczyć, wprowadzając do rozważań jednostkowy wektor
-
-
| |
-
|
|
(29) |
dzięki któremu torsję można zdefiniować wzorem
| |
-
|
|
(30) |
przy czym
| |
-
|
|
(31) |
dzięki temu, że po uwzględnieniu tożsamości Lagrange’a
| |
-
|
|
(32) |
Na podstawie (31) i dzięki temu, że otrzymujemy
| |
-
|
|
(33) |
1. Elipsa
-
-
-
-
-
-
-
-
- - ponieważ
2. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej:
-
-
-
-
-
-
-
- - ponieważ
3. Spirala na walcu kołowym, linia śrubowa – krzywa „nawinięta” na walec o promieniu Spirala jest prawoskrętna wokoło osi
-
-
-
-
gdzie jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny kołowego przekroju walca,
-
-
-
stąd
-
-
-
-
-
4. Parabola płaska
-
-
-
-
-
-
-
-
-
5. Parabola przestrzenna
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Zerowanie się torsji wynika również bezpośrednio z faktu, że Rozważana krzywa w całości leży na swojej płaszczyźnie ściśle stycznej o normalnej
6. Spirala Archimedesa
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
7. Spirala stożkowa – krzywa „nawinięta” na stożek kołowy.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
8. Spirala na walcu eliptycznym – krzywa „nawinięta” na taki walec o półosiach
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
9. Sinusoida „nawinięta” na walec kołowy.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
10. Cykloida
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Wzory Freneta w
edytuj
Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C. Jordana w 1874 roku.
Przypuśćmy, że opisuje gładką krzywą w sparametryzowaną przez długość łuku oraz że pierwsze pochodnych jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach
W szczególności, jednostkowy wektor styczny jest pierwszym wektorem układu Freneta
-
Wektor normalny czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako
-
W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta i jest zdefiniowany jako
-
Wektor styczny i normalny w punkcie definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie
Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:
-
Funkcje o wartościach rzeczywistych zdefiniowane jako:
-
są nazywane krzywiznami uogólnionymi, przy czym symbol oznacza iloczyn skalarny wektorów i
W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta-Serreta mają postać:
- dla
W języku macierzy wyglądają tak:
-
- ↑ a b c В.И. Смирнов, Курс высшей математики, t. 2, Гос. Издат. технико-теоретичесҝой литературы, Мосҝва-Ленинград 1951.
- ↑ a b F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.
- ↑ Trójścian Fréneta, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .