Conjunto conexo
Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair dele[1].
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Espaço conexo | Dois espaços desconexos (é impossível ir da letra propriamente dita até o ponto sem sair do espaço) |
Definição
editarMais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que , e [2].
Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições:
- com e não vazios
Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação representa o fecho do conjunto A.
Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.
Teoremas
editarTeorema 1
editarDados dois conjuntos B e C, então se e somente se existem F e G abertos tais que , e .
Teorema 2
editarUm subconjunto E da reta real é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se , e , então .
Corolário
editarTodo os conjuntos conexos da reta são intervalos.
Teorema 3
editarA imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).
Teorema 4
editarO fecho de um conjunto conexo é conexo.
Teorema 5
editarO produto cartesiano de espaços métricos é conexo se, e somente se, cada fator é conexo.
Exemplos e observações
editar- O cilindro C={ } é homeomorfo ao produto cartesiano . Como são intervalos, eles são conexos; portanto, o produto cartesiano é conexo e a imagem C de uma aplicação homeomórfica é também um conjunto conexo. Conclui-se, então, que C é um conjunto conexo.
- Um conjunto conexo, se for complementarmente conjunto compacto, definirá um conjunto contínuo.
- Os conjuntos e são desconexos.
Referências
- ↑ IA841 — notas de aula — FEEC. Conceitos elementares de topologia. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/IA841/2s2006/notas/cap6.pdf>. Página 12. Acesso em: 20 janeiro 2011.
- ↑ Rudin, Walter (1971). Princípios de Análise Matemática 1 ed. Rio de Janeiro: Universidade de Brasília