Medida de Lebesgue

A medida de Lebesgue em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$  é uma função ${\displaystyle \mu :{\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}}$ . A família ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$  é compostas por subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

• Seja ${\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}\,}$ , então ${\displaystyle I\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$  e:

${\displaystyle \mu (I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})\,}$ 

• Em especial:

${\displaystyle \mu (\emptyset )=0\,}$ 

• Se ${\displaystyle E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$  então ${\displaystyle \bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$  e, ainda:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (E_{j})}$ , onde a igualdade ocorre se os conjuntos ${\displaystyle E_{j}\,}$  forem disjuntos dois a dois.

• Se ${\displaystyle E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$  então ${\displaystyle \bigcap _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,}$ .
• Se ${\displaystyle A\subseteq B\,}$  e ${\displaystyle \mu (B)=0\,}$  então ${\displaystyle A\,}$  é mensurável e tem medida zero.
• É invariante por translação, ou seja, se ${\displaystyle A\,}$  é mensurável e ${\displaystyle A_{\lambda }\,}$  é definido como ${\displaystyle A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}\,}$  então ${\displaystyle A_{\lambda }\,}$  é mensurável e :

${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{\lambda })\,}$ 

• Se ${\displaystyle A\,}$  é mensurável e ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\,}$  é uma transformação linear, então ${\displaystyle TA:=\{Tx:x\in A\}\,}$  é mensurável e:

${\displaystyle \mu (TA)=|T|\mu (A)\,}$ , onde ${\displaystyle |T|\,}$  é o determinante da transformação.

• Conjunto de medida zero
• Medida