Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.
В простейшем случае топологическому пространству сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий , занумерованных натуральными числами . Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации[1].
Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию[2], и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.
Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии с коэффициентами в абелевой группе , относительные гомологии пары пространств и когомологии , определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения , превращающего их в градуированную алгебру.
Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам ��опологические пространства с подходящими гомологиями.
Общее определение
правитьНапомним, что -тая гомотопическая группа пространства — это множество отображений из -мерной сферы в , рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий отображения сфер заменяют на -циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности внутри , но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.
В стандартных обозначениях группа -циклов — (от нем. Zyklus — «цикл»), группа -границ — (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как
- .
Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности приводит к некоторым трудностям[1]. Решением является определение промежуточного понятия группы -цепей , состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы . Тогда -циклы определяются как -цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:
- .
Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: , а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.
Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.
Гомологические теории
править- Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств (симплициальных комплексов).
Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.
- Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
- Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.
Гомологии с коэффициентами в произвольных группах
правитьМожно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы . То есть, вместо групп рассматривать группы .
Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства с коэффициентами в группе обозначаются Обычно применяют группу действительных чисел , рациональных чисел , или циклическую группу вычетов по модулю — , причём обычно берётся — простое число, тогда является полем.
Другое описание. Применяя к комплексу
функтор , мы получим комплекс
- ,
гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в .
Когомологии
правитьКроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу . То есть, пространство коцепей .
Граничный оператор определяется по формуле: (где ). Для такого граничного оператора также выполняется
- , а именно
- .
Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов , кограниц и когомологий .
Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.
Если — кольцо, то в группе когомологий определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или -произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.
В случае, когда — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на (см. Теорема де Рама).
Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.
Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность
правитьВозьмём случай двух топологических пространств . Группа цепей (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе ). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы . Так как граничный оператор на группе гомологий подпространства переводит , то можно определить на факторгруппе граничный оператор (мы его обозначим так же) .
Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в будут называться относительными циклами , а цепи, которые являются его значениями — относительными границами . Так как на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда . Факторгруппа называется группой относительных гомологий.
Так как каждый абсолютный цикл в является также и относительным то имеем гомоморфизм По функториальному свойству вложение приводит к гомоморфизму .
В свою очередь можно построить гомоморфизм , который мы определим следующим образом. Пусть — относительная цепь, которая определяет цикл из . Рассмотрим её как абсолютную цепь в (с точностью до элементов ). Так как это относительный цикл, то будет равен нулю с точностью до некоторой цепи . Положим равным классу гомологий цепи .
Если мы возьмём другую абсолютную цепь , определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь , где . Имеем , но так как является границей в то и определяют один и тот же элемент в группе гомологий . Если взять другой относительный цикл , дающий тот же элемент в группе относительных гомологий , где — относительная граница, то в силу того, что граница для относительных гомологий , где , отсюда , но , а — граница в .
Поэтому класс гомологий определен однозначно. Ясно по линейности оператора , что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:
- ;
- и
- ;
Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.
Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:
- Если то и .
- Если , то и , где — замкнутый интервал [0,1].
- , где — одноточечное пространство.
В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа и непрерывному отображению пар соответствует гомоморфизм (Пространство отождествляется с парой ), а с ), причём выполняются следующие аксиомы:
- Тождественному отображению пары соответствует тождественный гомоморфизм .
- (функториальность)
- Определен граничный гомоморфизм , причём если , то для соответствующего гомоморфизма верно для любой размерности .
- Пусть и — вложения, и — соответствующие гомоморфизмы, — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
точна (аксиома точности). - Если отображения гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны для любой размерности (аксиома гомотопической инвариантности).
- Пусть — открытое подмножество , причём его замыкание содержится во внутренности множества , тогда если пары и принадлежат допустимому классу, то для любой размерности вложению соответствует изоморфизм (аксиома вырезания).
- Для одноточечного пространства для всех размерностей . Абелева группа называется группой коэффициентов (аксиома размерности).
Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе их отображения и граничный гомоморфизм удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.
Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.
Необходимо только иметь в виду, что отображению соответствует (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм увеличивает размерность.
Экстраординарные гомологии
правитьВ системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.
Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей , называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ 1 2 Фоменко, Фукс, 1989, с. 95.
- ↑ Hatcher, 2002, p. 97.
Литература
править- Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
- Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
- Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
- Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
- Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
- Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
- Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
- Hatcher A. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.