Моноїд

Моноїд — це множина ${\displaystyle S}$ , разом із двомісною операцією “${\displaystyle \cdot }$ ”, яка задовольняє трьом наступним аксіомам:

Замкнутість

Для всіх ${\displaystyle a,b\in S}$ , результат операції ${\displaystyle a\cdot b}$  також в ${\displaystyle S}$ .

Асоціативність

Для всіх ${\displaystyle a,b,c\in S}$ , виконується рівність ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .

Нейтральний елемент (одиниця)

Існує елемент ${\displaystyle e\in S}$  такий, що для всіх елементів ${\displaystyle a\in S}$ , вірна рівність ${\displaystyle a\cdot e=e\cdot a=a}$ .

І в математичному записі ми можемо записати це так

• Замкнутість: ${\displaystyle \forall a,b\in S\colon a\cdot b\in S}$ ,
• Асоціативність: ${\displaystyle \forall a,b,c\in S\colon (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ ,
• Нейтральний елемент: ${\displaystyle \exists e\in S}$  такий, що ${\displaystyle \forall a\in S\colon e\cdot a=a\cdot e=a}$ .

Символ двомісної операції часто опускається; наприклад, аксіоми моноїда вимагають ${\displaystyle \ (ab)c=a(bc)}$  і ${\displaystyle \ ea=ae=a}$ . Двомісна операція традиційно називається множенням, але може реалізовуватися будь-якою.

Підмоноїдом моноїда ${\displaystyle \left(M,\cdot \right)}$  є підмножина N із М, замкнута відносно моноїдної операції і така, що містить нейтральний елемент e із M. В символьному записі, N є підмоноїдом М, якщо ${\displaystyle N\subseteq M}$ , ${\displaystyle x\cdot y\in N}$  якщо ${\displaystyle x,y\in N}$ , і ${\displaystyle M\ni e\in N}$ . В цьому випадку N є моноїдом за двомісною операцією, успадкованою від М.

З іншого боку, якщо N є підмножиною моноїду, замкнутою щодо моноїдної операції, та є моноїдом щодо цієї успадкованої операції, то N не завжди буде підмоноїдом, оскільки нейтральний елемент може бути іншим. Наприклад, синглетон {0} замкнутий щодо алгебраїчного множення, але він не є підмоноїдом (мультиплікативного) моноїду невід’ємних цілих чисел: тут нейтральним елементом буде 1.

Підмножина S із М породжує М, якщо найменший підмоноїд М, що містить S, є самим М. Якщо моноїд М може бути породженим скінченною множиною, він називається скінченно породженим моноїдом.

Моноїд, операція якого комутативна, називається комутативним (або, рідше, за аналогією з групами, абелевим). Операцію комутативного моноїда часто позначають як додавання. Будь-який комутативний моноїд наділений алгебраїчним передпорядком ${\displaystyle \leq }$ , визначеним так, що ${\displaystyle x\leq y}$ , якщо існує z такий, що ${\displaystyle x+z=y}$ . Порядковою одиницею комутативного моноїда М є такий елемент u із М, що для будь-якого елемента х із М у множині, породженій u, існує елемент v такий, що ${\displaystyle x\leq v}$ . Це часто має місце, коли М є додатним конусом частково впорядкованої абелевої групи G, в цьому випадку u називають порядковою одиницею G.

Моноїд, операція якого є комутативною лише для деяких, але не для всіх елементів, називають слідовим моноїдом. Слідові моноїди часто зустрічаються в теорії паралельних обчислень.

• З 16 можливих двомісних булевих операцій чотири, які мають двобічну ідентичність, є комутативними та асоціативними. Таким чином, будь-яка з них перетворює множину {False, True} на комутативний моноїд. Відповідно до стандартних визначень, AND та XNOR мають одиницею True, а XOR та OR мають одиницею False. Моноїди з AND чи OR також ідемпотентні, тоді як моноїди із XOR та XNOR — ні.
• Множина натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$  є комутативним моноїдом щодо операції алгебраїчного додавання (нейтральний елемент 0) або щодо операції алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1). Підмоноїд N щодо додавання називають числовим моноїдом.
• Множина цілих додатних чисел є комутативним моноїдом щодо алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1).
• Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції перетину (нейтральним елементом є сама множина A).
• Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції об'єднання (нейтральним елементом є порожня множина).

• Ґратка з діленням