提示:此条目的主题不是
数域,也不是全体
代数数构成的域。
代数数域是数学中代数数论的基本概念,数域的一类,有时也被简称为数域,指有理数域
的有限扩张形成的扩域[1][2]。任何代数数域都可以视作
上的有限维向量空间。
对代数数域的研究,或者更一般地说,对有理数域的代数扩张的研究,是代数数论的中心主题。
代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算(通常称之为“加法”、“乘法”)的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律,完全可逆,同时乘法对加法满足分配律(详细定义参见域)。域的一个重要的例子是有理数域 。
- 域的扩张
域的扩张研究各类域之间的关系,最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素(一般以集合S记录),规定相互间的运算法则后,“最小的”将它们都包含在内的域[N 1]L称为“F(添加S中元素得到)的扩域”。称F是L的子域。一般将“F到L的域扩张”记作F⊂L或L/F。
- 向量空间
另一个基础概念是向量空间。向量空间,特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广(具体定义参见向量空间条目)。以某个域F为系数域的向量空间(通常称作F上的向量空间或F-向量空间),其中的向量除了可以相加减,还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件,称为空间的基。选定了空间的基以后,空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组: 。其中的n是基中向量的个数,也称为空间的维数。
- 有限扩张
设L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量,以F作为系数域,可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的,就称L是F的有限扩张。L作为F-向量空间的维数,称为扩张的次数,记作[L : F]。
若域L是有理数域 的有限扩张,则称之为代数数域[3]:3。
最小最基本的代数数域是有理数域 。因为 自身是 -向量空间,维数是1。因此 是 自身的域扩张,
高斯有理数 (i为虚数单位)是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子,它是所有形同:
-
的数构成的集合。可以证明, 是域,而且是 -向量空间,以 为基,空间维数是2。所以 是 的二次扩张,
给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数d,二次域 在 中添加 d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似,可以证明 是 -向量空间,以 为基,空间维数是2,即
考虑多项式方程 的n个复根 ,它们被称做n次单位根,具体可以写作:
-
在 中添加 得到的扩域称为n次分圆域,记作 。可以证明 是有限维 -向量空间,维数为 ( 是数论中的欧拉函数),即
实数域 、复数域 和p进数域 都不是 的有限扩张,因此都不是代数数域。任何有限域都不是 的扩域,因此也不是代数数域。
全体规矩数构成的域 和全体代数数构成的域 (有时也被简称为代数数域,与本文主题同名,但不是同一个概念)不是 的有限扩张,因此都不是代数数域。
代数数是指能够成为某个有理数系数多项式(不是零多项式)的根的数。显然所有的有理数都是代数数[N 2]。给定一个代数数域L,依定义,域扩张 是有限扩张。设其次数为正整数m[N 3]。将L看作是m维 -向量空间,在L中任意选一个不属于 的数z,它可以被看作是m维 -向量空间中的一个(非零)向量。考虑以下的m + 1个向量:
-
它们都属于L。根据向量空间的性质,它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数: ,使得:
- .
考虑非零多项式 , ,即z是多项式 的根。所以z是代数数。由上可知,任一代数数域的元素都是代数数。
代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数[3]:4。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根,因此是代数整数。给定代数数域F,F中所有代数整数构成一个环,称作F中的(代数)整数环,也称为F-整数环,记作 。例如 上的代数整数环就是 ,因此在代数数域研究中 也被称作“有理整数”(有理数域中的整数),以区别于其余的代数整数。
代数数域F中的整数环 与 有不同的代数性质。 不一定是唯一分解整环。举例来说,设 ,F中的整数环是 。 都是 中的“素数”[N 4]。正整数6,作为 中的元素,它的素因数分解有两种方式:
-
有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补,由此发展出理想理论[4]。代数数论中一个重要的事实是: 的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积,即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足,在历史上使代数数论发展起来[2]。
设F为n次代数数域,F的整数基是任一由n个F-整数组成的集合:
-
使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这n个F-整数的整线性组合[N 5],即:
- ,使得
换句话说,整数基B是 作为自由 -模的基。给定F的一组整数基B,可以证明,所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合,即:
- ,使得
这说明B是F作为n维 -向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数,故B名为整数基。此外可以证明,x是F-整数当且仅当所有 都是有理整数。
设F为n次代数数域。作为n维 -向量空间,F包含如下形式的基:
-
其中每个元素都是某个特定的数β的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理,这样的β一定存在,称为域扩张 的本原元。如果β不仅是本原元,还是F-整数,那么这时B也是整数基,称作乘幂整数基,称F为单衍域(monogenic field)。
- ^ “最小的”指所有同时包含F和S的域的交集。
- ^ 任意有理数q都是一次多项式X - q的根。
- ^ 此处假设这个域扩张不是平凡的,即L不是 自身,也即是说假设m大于1。
- ^ 即不能表示成另两个 中的不等于1或-1的数的乘积,正式名称为不可约元素或素元。
- ^ 在不计顺序的情况下。
- Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2
- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
- Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
- Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
- Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
- Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859
- Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196
- Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995