如果 和 是代数数,其中 ,且 不是有理数,那么任何 的值一定是超越数。
- 和 不限于实数,也可以是虚部不为零的复数。因此, 可以是多值的,其中“log”表示复数对数,且该定理对每个值都是成立的。
- 该定理的一个等价的表述是:如果 和 是非零的代数数,那么 要么是有理数,要么是超越数。
- 使用反證法。
- 令
- 假設 不為超越數,也不為有理數,即為代數數
- 根據此定理, 為超越數
- 但 卻是代數數,矛盾。
- 故 要么是有理数,要么是超越数。
- 如果没有 , 是代数数的限制,这个定理未必成立。例如:
- 令 為超越數(由本定理可得知), 為代數數,則
- ,是代數數。
- 令 為代數數, 為超越數,則
- ,是代数数。
利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:
- (格尔丰德-施奈德常数)和它的平方根 。
- 格尔丰德常数
-