給定一個局部賦環空間 ,如果對 的一個開集 , 是仿射概形,稱 爲仿射開集。
一個局部賦環空間 稱爲概形,如果 的每一點 都有仿射開邻域,即包含 的仿射開集。
直觀上說,概形是由仿射概形粘起來得到的,正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。
兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。
全體概形構成範疇,其態射取為局部賦環空間之間的態射(另見概形的態射)。給定概形 ,所謂 之上的概形 (又稱 -概形)即是概形間的態射 。交換環 上的概形 即是態射 。
域 上的代數簇可定義為 上的滿足特定條件的概形,但對於具體何種概形可稱為簇,有不同約定,其中一種定義為 之上有限型的整、分離概形。[2]
態射 確定了正則函數環上的拉回同態 。對於仿射概形,此構造給出概形態射 與環同態 之間的一一對應。此意義下,概形論包含了交換環論的全部內容。
由於 是交換環範疇的始对象,概形範疇對應以 為終對象。對於交換環 上的概形 ,所謂 的 值點即是態射 的截面,全體 值點的集合記作 ,其對應的古典概念是定義 的方程組在 中的解集。若 實為域 ,則 亦稱為 的 -有理點集。
推而廣之,設有交換環 ,其上有概形 和交換代數 ,則 的 值點定義為 之上的態射 (該態射需要與射向 的態射組成交換圖表), 值點的集合記作 。(類比到方程組的情況,相當於將某個域 擴張成 ,再考慮 中的解集。)固定 及其上的概形 時,映射 為自交換 代數範疇至集合範疇的函子。 上的概形 可從此點函子確定。
概形的纖維積總存在:對任意兩態射 ,皆可在概形範疇內找到纖維積 (即範疇學拉回)。若 為域 上的概形,則兩者在 上的纖維積可以視為 -概形範疇中的積,例如仿射空間 與 在 上之積正是 。
由於概形範疇既有纖維積,又有終對象 ,其有齊全部有限极限。
概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”(法語:préschéma,英語:prescheme),1967年左右改稱現名。
概形的中文名稱源自日文“概型”。
- 仿射概形的開子集不一定仿射,因此需要考慮(非仿射的)一般概形。例如,設 (基域取複域 為例),則當 時, 不為仿射。(但對於 的情況,仿射直線挖去原點,同構於仿射概形 。)欲證 非仿射,可以證出當 時, 上的每個正則映射,皆可延拓至 上。(對正則映射較易證明;對解析函數,則是複分析的哈托格斯延拓定理)。換言之,嵌入 導出自 至 的環同構。假若 仿射,將由此得出 本身亦為同構,但 不為滿射,矛盾。因此,概形 不為仿射。[5]
- 設 為域,則可數積 的譜 為仿射概形,底下的拓撲空間為正整數集(離散)的斯通-切赫緊化,因為質理想與正整數集上的超滤子一一對應:超濾子 對應質理想
特別地,正整數 對應的主超濾子,對應的質理想是 。本例仿射概形為零維空間,故而每點自成一個既約分支。由於仿射概形皆擬緊,本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。(諾特概形則與之相對,衹有有限多��既約分支。)