古埃及的分數是不同的單位分數的和,就是分子為1,分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。
古埃及分數的表達形式不是唯一的,還未找到一個算法總是給出最短的形式。
贪婪算法:将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少,称为第一种好算法;最大的分母数值最小,称为第二种好算法。
例如:
。共2项,是第一种好算法,比
的项数要少。
又例如,
比
的最大分母要小,所以是第二种好算法。
- 找出僅小於
的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是:即用
除以
,捨去餘數,再加1。(如果沒有餘數,則
已是單位分數。)
- 把
減去單位分數,以這個新的、更小的
重複步驟1。
例子:把
轉成單位分數。
,所以第1個單位分數是
;
;
,所以第2個單位分數是
;
;
,所以第3個單位分數是
;
已是單位分數。
所以結果是:
。
詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特和斐波那契都提出過以上的方法。
這個算法是基於貝祖等式的:當
,
互質,
有無窮多對正整數解
。
選取最小的正整數解
。取單位分數分母為
,重複步驟。
以
為例:
,所以第1個單位分數是
;
,所以第2個單位分數是
;
- 第3個單位分數是
。
最基本的方法就是將分數寫成二進制數,便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。
換個說法就是重複求最小的正整數
使得
。
這個方法的效率很低。
一個改善之道是選取正整數
使得
。選取適當的正整數
(
)使得
。
。將
寫成二進制數。
例如:
:
,![{\displaystyle 4\times 18=23\times 3+3}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370227e5c51beeaec23bce2ac88b709e82f346c5)
![{\displaystyle {\frac {18}{23}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4\times 23}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cacaac77bd7c03a603f2e12952d253737b13e3d5)
![{\displaystyle {\frac {3}{4}}=0.15={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441f1a30f9834a6e7102c316785069fe657e8df4)
![{\displaystyle {\frac {18}{23}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2\times 23}}+{\frac {1}{4\times 23}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11b7914666fd949457324bc3c2238a77ff35004)
將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同,可以用以下其中一種處理方式:
- 若它們的分母是雙數,便用它們的和取代;若它們的分母是單數,設它們的分母為
,用
取代。
- 設它們的分母為
,用
取代。
或是
←
可等於任意正整數
表示成为一个级数形式:
莱因德数学纸草书
數學史家有時論述代數的發展分為三個基本階段:
- 文字代數:其問題以古代數學家所用的文字表述;
- 省文代數:簡化問題中一些字詞,以幫助理解;
- 符號代數:以符號代表運算符和運算元,使更容易理解。
未知數以符號形式通常記為。我們從古埃及文稿得知,埃及祭司和書記採用文字代數的方式,以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。
這是現存在倫敦的大英博物館的萊因德數學紙草書(第二中間期)所載,其中一個阿哈問題的翻譯:
「問題24: 一個數量和它的
加起來是19。這數量是什麼?」
「假設是7。7和7的
是8。8要乘上多少倍以得到19,7也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」
以現在的符號形式,
,故此
。檢查:
。
注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算,如
。
一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號,這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。