Teoria de categories: diferència entre les revisions
Aparença
Contingut suprimit Contingut afegit
A la definició de categoria crec que la composició s'havia escrit al revés |
|||
Línia 7: | Línia 7: | ||
# per tot <math>{A,B} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}</math>, un conjunt de [[morfisme]]s de <math>A</math> en <math>B</math>, anomenat <math>Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)</math>. Els seus elements <math>{f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}</math> s'escriuen com <math>{f:A}\rightarrow B</math> |
# per tot <math>{A,B} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}</math>, un conjunt de [[morfisme]]s de <math>A</math> en <math>B</math>, anomenat <math>Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)</math>. Els seus elements <math>{f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}</math> s'escriuen com <math>{f:A}\rightarrow B</math> |
||
# per tot <math>{A,B,C,D} \in Ob(\mathcal{A})</math>, i per tot <math>{f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}</math>, <math>{g}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(B,C)}</math> es compleixen les següents propietats: |
# per tot <math>{A,B,C,D} \in Ob(\mathcal{A})</math>, i per tot <math>{f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}</math>, <math>{g}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(B,C)}</math> es compleixen les següents propietats: |
||
## existeix <math>{h}\in {Mor(A,C)}</math> tal que <math>h= |
## existeix <math>{h}\in {Mor(A,C)}</math> tal que <math>h=:= {\circ{}}_{\mathcal{A}}\; </math>, és a dir, tenim l'aplicació |
||
##:<math>\begin{matrix} {Mor( |
##:<math>\begin{matrix} {Mor(B) \times{} Mor(,)} & \longrightarrow{} & {Mor(A,C)} \\ {(g)} & \mapsto & {} \end{matrix}</math> |
||
## propietat associativa en la composició, és a dir <math>k(gf)=(kg)f</math>, per tot <math>k \in {Mor_{ \mathcal{A} }(C,D)}</math>. |
## propietat associativa en la composició, és a dir <math>k(gf)=(kg)f</math>, per tot <math>k \in {Mor_{ \mathcal{A} }(C,D)}</math>. |
||
## existència del morfisme identitat <math>I_B^{ \mathcal{A} } \in Mor_{ \mathcal{A} }(B,B) </math> tal que <math>I_B^{ \mathcal{A} }f=f</math> i <math>gI_B^{ \mathcal{A} }=g</math>. |
## existència del morfisme identitat <math>I_B^{ \mathcal{A} } \in Mor_{ \mathcal{A} }(B,B) </math> tal que <math>I_B^{ \mathcal{A} }f=f</math> i <math>gI_B^{ \mathcal{A} }=g</math>. |
Revisió de 18:07, 24 set 2021
La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àrees de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica.
Definició de categoria
[modifica]és una categoria si té:
- una classe d'objectes de , anomenat .
- per tot , un conjunt de morfismes de en , anomenat . Els seus elements s'escriuen com
- per tot , i per tot , es compleixen les següents propietats:
- existeix tal que , és a dir, tenim l'aplicació
- propietat associativa en la composició, és a dir , per tot .
- existència del morfisme identitat tal que i .
- existeix tal que , és a dir, tenim l'aplicació
Aplicacions
[modifica]Un dels àmbits d'aplicació és al llenguatge de programació Haskell amb la categoria Hask on els objectes són els tipus i els morfismes són les funcions.[1][2]
Vegeu també
[modifica]- Categoria (matemàtiques)
- Functor: correspondència entre categories.