Nombre esfènic
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/70_a_sfenic_number.jpg/220px-70_a_sfenic_number.jpg)
En la teoria de nombres, un nombre esfènic (del grec antic: σφήνα, falca) és un nombre enter positiu compost a partir de tres nombres primers diferents.[1]
Definició
[modifica]Un nombre esfènic és un producte pqr on p, q i r són tres nombres primers diferents.
Per exemple,
- 70 = 2 × 5 × 7 és un nombre esfènic
- 60 = 22 × 3 × 5 està format per tres nombres primers, però no és esfènic (2 x 2 x 3 x 5).
Exemples
[modifica]El nombre esfènic més petit és 30 = 2 × 3 × 5, que és el producte dels tres primers nombres primers més petits.
Els primers nombres esfenics són
- 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231... (successió A007304 a l'OEIS)
on
- 30 = 2 × 3 × 5
- 42 = 2 × 3 × 7
- 66 = 2 × 3 × 11
- 70 = 2 × 5 × 7
- 78 = 2 × 3 × 13
- ...
El gener del 2016, el nombre esfènic més gran és
- (274.207.281 − 1) × (257.885.161 − 1) × (243.112.609 − 1).
que és el producte dels nombres primers més grans coneguts.
Divisors
[modifica]Tots els nombres esfènics tenen exactament vuit divisors. Si expressem el número esfènic com , on p, q, i r són nombres primers diferents, llavors el conjunt de divisors de n són:
L'invers no es manté. Per exemple, 24 no és un nombre esfènic, però té exactament vuit divisors.
Propietats
[modifica]Tots els números esfènics són, per definició, lliures de quadrats, perquè els factors primers han de ser diferents.
La funció de Möbius de qualsevol nombre esfènic és −1.
Els polinomis ciclotòmics , que s'apoderen de tots els nombres esfènics n, poden contenir coeficients arbitràriament grans[2] (per a n, un producte de dos primers són els coeficients o ).
Nombres esfènics consecutius
[modifica]El primer cas de dos esfènics consecutius enters és 230 = 2 × 5 × 23 i 231 = 3 × 7 × 11.
El primer cas de tres esfènics consecutius és 1309 = 7 × 11 × 17, 1310 = 2 × 5 × 131, i 1311 = 3 × 19 × 23.
No hi ha cap cas de més de tres esfènics consecutius, perquè cada quart sencer positiu consecutiu és divisible per 4 = 2 × 2 i, per tant, no està lliure de quadrats.
Els nombres 2013 (3×11×61), 2014 (2×19×53), i 2015 (5×13×31) són esfènics consecutius. Els propers tres nombres esfèrics consecutius són 2665 (5×13×41), 2666 (2×31×43) i 2667 (3×7×127) (successió A165936 a l'OEIS).
Referències
[modifica]- ↑ Van Dyke, James; Rogers, James; Adams, Holli. Fundamentals of Mathematics (en anglès). Cengage Learning, 2011, p. 126. ISBN 0538497971.
- ↑ Emma Lehmer, "On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial", Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936), no. 6, pp. 389–392.[1].
Vegeu també
[modifica]- Nombre gairebé primer
- Nombre semiprimer, producte de dos nombres primers