En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.
Sigui
una aplicació on
i
són dos
-espais vectorials.
Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.
Si
és una aplicació lineal,
, i
es compleix:
![{\displaystyle f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21cd8507e5cb28d3556f333a595b56fa80cb722)
![{\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}f(x_{i})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cbd281dfdf78dedd07fe9f2843371341963e69)
![{\displaystyle f({\vec {0}})={\vec {0}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15968fee653274b2cca45d4c13b7e9f77b78750)
![{\displaystyle f(-x)=-f(x)\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc597e9fb163f0f2f77d4ded70e670697e74dc7f)
- Si
també és una aplicació lineal, aleshores:
, també és una aplicació lineal.
Sigui
![{\displaystyle \operatorname {Nuc} f=\left\{x\in \mathbf {E} |f(x)=0\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc4fa6a24a440688151f5ad516756286840412a)
- S'anomenarà imatge de
al subespai vectorial de ![{\displaystyle \mathbf {F} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256)
![{\displaystyle \operatorname {Im} f=\left\{y\in \mathbf {F} |\exists x\in \mathbf {E} ,y=f(x)\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfa780eef9a34649090deb4ead7a13a17a9820c)
![{\displaystyle \dim(\operatorname {Nuc} f)+\dim(\operatorname {Im} f)=\dim(\mathbf {E} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8cd8ae8a999784c76c15db6e4e7a2dab1c9a1b)
![{\displaystyle \operatorname {Im} f\cong \mathbf {E} /\operatorname {Nuc} f}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39069470bce995a5d863abe30b444bb4e67e6cef)
Matriu associada a una aplicació lineal
[modifica]
Siguin
i
dos espais vectorials de dimensió finita,
i
les seves respectives bases i
una aplicació lineal,
queda definida si es coneixen les coordenades de
en la base de
:
S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal
en les bases
i
Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:
![{\displaystyle w\in \mathbf {E} =\sum _{i=1}^{n}w_{i}u_{i}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f090daa983d99673ba1b4e1607d0dc5c20d3475d)
![{\displaystyle \ f(w)\in F=f(\sum _{i=1}^{n}w_{i}u_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i}^{j}v_{j})=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{j}w_{i})v_{j}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95b26d283c5388289dbdffbee4eae39d423645b)
Les coordenades de
en la base
de
són:
![{\displaystyle {\bar {w_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{j}w_{i},i=1,\dots ,m}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2c5e1ba6f7a7be09bfae24f2e51800d0f560fc)
![{\displaystyle \Rightarrow {\bar {w}}=A\cdot w}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7c586f6114691ddc074ae483da2aa9e74ae929)
Composició d'aplicacions lineals
[modifica]
Donades dues aplicacions lineals
i
(on
,
i
són les bases de
,
i
) amb
i
com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu
és la matriu associada a l'aplicació
![{\displaystyle \left.{\begin{matrix}f(u_{i})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}v_{j}\\g(v_{j})=\sum _{k=1}^{s}b_{j}^{k}w_{k}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow g\circ f(u_{i})=g(f(u_{i}))=g(\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}v_{j})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}g(v_{j})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}(\sum _{k=1}^{s}b_{j}^{k}w_{k})=\sum _{k=1}^{s}(\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}b_{j}^{k})w_{k}\Rightarrow }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa17ba27afec3854e86dfc47b7e9f39608a15365)
![{\displaystyle C_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}b_{j}^{k}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f8223336c10277cb7381422b735bcf2685a11a)
![{\displaystyle (C=B\cdot A)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df15fe6f0e944968b67f96b8e42d32562f76ede)
Sigui
una aplicació lineal amb la matriu
respecte a les bases
i
de
i
i la matriu
respecte a les bases
i
es pot escriure
com la següent composició
![{\displaystyle B=Q\cdot A\cdot P}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57f31122bbc06169823bdc998ead1dbdbe09230)
on
és la matriu del canvi de base de
a
i
és la matriu del canvi de base de
a
.
L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de
a
.
![{\displaystyle \mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506a10b9d47c75850dc263712984e80399f22e24)
Les aplicacions lineals a
s'anomenen formes, i a l'espai
se l'anomena espai dual de
, on
és el conjunt de totes les aplicacions lineals de
a
.
és un espai vectorial de la mateixa dimenió que
(si
té dimensió finita):
![{\displaystyle \dim {\mathcal {L}}(\mathbf {E} ,\mathbb {R} )=\dim \mathbf {E} \cdot \underbrace {\dim \mathbb {R} } _{\text{1}}=\dim \mathbf {E} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311a9d52f8dc52f159edfcad4cf6ce26036d400c)
![{\displaystyle \Rightarrow \dim \mathbf {E^{*}} =\dim \mathbf {E} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2549bcf1f0e98a1340d344eacdf58d5ba886aa66)
Donada una base de
, les aplicacions:
![{\displaystyle u_{i}':}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922919669af8cc2e4ef7dda050f7c273a33f6e24) |
![{\displaystyle \mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506a10b9d47c75850dc263712984e80399f22e24) |
|
|
![{\displaystyle u_{j}\mapsto 0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2726e547cd069c90ab3878bcfd5a75795518dda) |
|
|
![{\displaystyle u_{j}\mapsto 1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c197d692966cb511df7827443c1729d8d679eab0) |
|
|
On
és l'aplicació,
és l'element i
és la funció delta de Kronecker.
Les aplicacions
formen una base de
que s'anomena base dual de
.
Suposem que
i
són bases diferents de
amb algun vector en comú (suposem que
), aleshores, en les dues bases duals
i
,
i
no tenen per què ser iguals.
Sigui
una base de
i
la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol
en la base
són
.
![{\displaystyle \omega :}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eea7977d92f904450cc8ca3213c46c886853ea4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Per tot vector
de la base de
tenim:
Fixada una aplicació lineal
i
, al compondre un element
amb
, obtenim un element
:
Per tant, existeix una aplicació
que designarem per aplicació dual de
:
![{\displaystyle {\begin{matrix}f':&\mathbf {F} ^{*}\rightarrow \mathbf {E} ^{*}\\&\omega \mapsto \omega \circ f\end{matrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a4af39095f62d3ef256cd5a0f90800734b926f)
i té les següents propietats:
![{\displaystyle f'(\omega +v)=(\omega +v)\circ f=(\omega \circ f)+(v\circ f)=f'(\omega )+f'(v)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13de36e91162c25b84de0a488727442da9173dcc)
![{\displaystyle f'(\lambda \omega )=(\lambda \omega )\circ f=\lambda (\omega \circ f)=\lambda f'(\omega )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1cae97ff9c9da12537781567682f051cde067f)
:
![{\displaystyle (g\circ f)'(\omega )=\omega \circ (g\circ f)=(\omega \circ g)\circ f=f'(\omega \circ g)=f'(g'(\omega ))=f'\circ g'(\omega )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40d00ff87cac1945906deec74b445083b5f7a76)
té per matriu associada
en les bases
i
de
i
respectivament.
tindrà una matriu associada
en les dues bases duals
i
de
i
respectivament.
La matriu de l'aplicació dual
en les bases duals és la matriu transposada de
.
![{\displaystyle B=(b_{i}^{j})=(a_{j}^{i})=A^{t}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5590ee62a8f06c7d41e68f3b3bc5c5c5931ec5b)