Nullteiler

In der Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes R ein vom Nullelement verschiedenes Element a, für das es ein Nicht-Null-Element b gibt, so dass ab=0. Ein Ring ohne Nullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritätsring.

Der Ring Z der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring Z² (mit komponentenweise Addition und Multiplikation) enthält die Nullteiler (0,1) und (1,0), denn (0,1)*(1,0)=(0,0).

Der Restklassenring Z/6Z hat die Nullteiler 2 und 3, denn 2*3=0 mod 6.

Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält den Nullteiler

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}}$

denn

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre a invertierbar und ab=0, dann wäre 0=a^-1=a^-1ab=b.

In einem kommutativen Ring ist das Produkt zweier beliebiger Nullteiler wieder ein Nullteiler. In einem nichtkommutativen Ring muss das jedoch nicht so sein.