Ausgehend von:
![{\displaystyle \log _{a}p+\log _{a}q=\log _{a}(p\cdot q)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0671d58ebf246564949f626468b08e8df5a162)
, ![{\displaystyle y:=\log _{a}q\leftrightarrow q=a^{y}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb3d0b00c448a8cf73e0f38cd22d1bf16b57036)
![{\displaystyle x+y=\log _{a}\left(a^{x}\cdot a^{y}\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f771896f385bc96afe4ab0b1944be39f278c9c3c)
Die die Addition (Operation 1. Stufe) mithilfe der Multiplikation (Operation 2. Stufe) "erklären" kann, lässt sich eine Operation „0. Stufe“ wie folgt definieren:
![{\displaystyle x\boxplus y:=\log _{a}\left(a^{x}+a^{y}\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1bcd148015108c2df773df8eb647d65af76bfa)
Es zeigt sich, dass
– im Gegensatz zum normalen Plus – von der gewählten Basis abhängt:
- Beispiel: Sei x=3 und y=5.
- Mit a=e:
![{\displaystyle \ln(\mathrm {e} ^{3}+\mathrm {e} ^{5})\approx 5{,}126928}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cf3bbefda524502472c6081360c8cb14357192)
- Mit a=10:
![{\displaystyle \lg(10^{3}+10^{5})\approx 5{,}00432137}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc2193550105386abc0414a9d0d8f88b72e93f0)
Es muss die Operation
um eine Basis erweitert werden. Man kann definieren, dass die Basis e sein soll, wenn sie nicht angegeben ist:
![{\displaystyle x\boxplus y:=\ln \left(\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{y}\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a4cdc0ff0e31b358e46fd6b3009617983ad4b0)
Ausgehend von:
![{\displaystyle \log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5930e1f950a9c00325e934a7d103f5c7ca50c7b)
![{\displaystyle x\cdot y=a^{\log _{a}x+\log _{a}y}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f684585a5ca6834afdb69a91a8d4513264d952)
Die Multiplikation wird hier mit der Addition von Logarithmen definiert. Wenn man Logarithmen multipliziert, bekommt man eine neue „Operation 3. Stufe“:
![{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{3}y=a^{\log _{a}x\cdot \log _{a}y}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0749bb53ad8cfc29c7351abc64658555deaa658e)
- Beispiel
![{\displaystyle 13\bigcirc ^{3}15=\mathrm {e} ^{\ln 13\cdot \ln 15}=1039}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fbc2d0bdf0099e3fe432787a3ff024b9ac4b29)
Das kann man weitertreiben zu einer „Operation n-ter Stufe“ jeweils durch eine Operation
-ter Stufe:
![{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{n}y:=a^{\log _{a}x\ \bigcirc _{a}^{n-1}\ \log _{a}y}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217194c8aecb99e8fc5b2aedc8fe140355f10bb9)
Mit
und
.
![{\displaystyle x\bigcirc _{a}^{0}y:=x\boxplus _{a}y}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998f6acce7819bfe052f684ba3b5e825fbc5be44)
Allgemeiner:
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