Radiación de frenado
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Radiación de frenado o Bremsstrahlung[1] (del alemán bremsen [«frenar»] y Strahlung [«radiación»]) es una radiación electromagnética producida por la desaceleración de una partícula cargada de baja masa (por ejemplo un electrón) debido al campo eléctrico producido por otra partícula con carga (por ejemplo un núcleo atómico).
En términos generales, bremsstrahlung o radiación de frenado es cualquier radiación producida debido a la aceleración (positiva o negativa) de una partícula cargada, que incluye la radiación sincrotrón (es decir, la emisión de fotones por una partícula relativista), la radiación ciclotrón (es decir, la emisión de fotones por una partícula no relativista) y la emisión de electrones y positrones durante la desintegración beta. Sin embargo, el término se utiliza con frecuencia en el sentido más estricto de radiación de electrones (de cualquier fuente) que se frenan en la materia.
A la radiación de frenado también se le conoce como radiación libre-libre (free-free radiation en inglés) porque la produce una partícula cargada que está libre antes y después del cambio de trayectoria de la partícula cargada. Debido a que las cargas son libres el espectro generado es continuo. Estrictamente hablando, se entiende por radiación de frenado a cualquier radiación debida a la aceleración de una partícula cargada, como podría ser la radiación de sincrotrón; pero se suele usar sólo para la radiación de electrones que se frenan en la materia.
Se refiere al hecho de que, en este caso, la radiación es creada por electrones que están libres (es decir, no en un estado ligado atómico o molecular) antes de la emisión de un fotón y permanecen libres después. En el mismo lenguaje, la radiación ligada se refiere a líneas espectrales discretas (un electrón "salta" entre dos estados ligados), mientras que la radiación libre se refiere al proceso de combinación radiativa, en el que un electrón libre se recombina con un ion.
Descripción clásica
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Si los efectos cuánticos son despreciables, una partícula cargada en aceleración irradia una potencia según es descrita por la fórmula de Larmor y su generalización relativista.
Potencia irradiada total
[editar]La potencia irradiada total es[2]
donde (la velocidad de la partícula dividida por la velocidad de la luz), es el factor de Lorentz, significa una derivada temporal de , y q es la carga eléctrica de la partícula. En el caso en que la velocidad es paralela a la aceleración (o sea, movimiento lineal), la expresión se reduce a[3]
donde es la aceleración. Para el caso en que la aceleración sea perpendicular a la velocidad (), por ejemplo en los sincrotrones, la potencia total es
La potencia irradiada en los dos casos límites es proporcional a o . Dado que , se observa que para partículas con la misma energía la potencia total irradiada es proporcional a o , que la razón por la cual los electrones pierden energía mediante radiación de bremsstrahlung mucho más rápidamente que las partículas cargadas más pesadas (o sea, muones, protones, partículas alfa). Esta es la razón por la cual un colisionador de electrón-positrón de energía TeV (tal como el propuesto para el colisionador lineal internacional) no puede usar un túnel circular (que requiere una aceleración constante), mientras que un colisionador protón-protón (como el gran colisionador de hadrones) se puede utilizar un túnel circular. Los electrones pierden energía mediante bremsstrahlung a un ritmo de veces mayor que lo que lo hacen los protones.
Distribución angular
[editar]La fórmula general para la potencia irradiada como función del ángulo es:[4]
donde es el vector unitario que apunta desde la partícula hacia el observador y es un elemento infinitesimal de ángulo sólido.
Cuando la velocidad es paralela a la aceleración (por ejemplo movimiento lineal), la expresión se simplifica y resulta ser[4]
donde es el ángulo entre y la dirección de observación.
Descripción simplificada mediante mecánica cuántica
[editar]El tratamiento mecánico-cuántico completo del bremsstrahlung es muy complicado. El "caso del vacío" de la interacción de un electrón, un ion y un fotón, utilizando el potencial de Coulomb puro, tiene una solución exacta que probablemente fue publicada por primera vez por A. Sommerfeld en 1931.[5] Esta solución analítica implica matemáticas complicadas, y se han publicado varios cálculos numéricos, como los de Karzas y Latter.[6] Se han presentado otras fórmulas aproximadas, como en el reciente trabajo de Weinberg[7] y Pradler y Semmelrock.[8]
Esta sección ofrece un análogo de la mecánica cuántica de la sección anterior, pero con algunas simplificaciones para ilustrar la física importante. Damos un tratamiento no relativista del caso especial de un electrón de masa , carga y velocidad inicial que se desacelera en el Campo de Coulomb de un gas de iones pesados de carga y densidad numérica . La radiación emitida es un fotón de frecuencia y energía . Deseamos encontrar la emisividad que es la potencia emitida por (ángulo sólido en el espacio de la velocidad del fotón * frecuencia del fotón), sumado sobre ambas polarizaciones transversales del fotón. Lo expresamos como un resultado clásico aproximado multiplicado por el factor de Gaunt de emisión libre-libre gff que tiene en cuenta las correcciones cuánticas y de otro tipo:
si , o sea, el electrón no posee suficiente energía cinética para emitir un fotón. Existe una fórmula general de mecánica cuántica ´para pero es muy complicada, y por lo general se obtiene mediante cálculos numéricos. Se presentan algunos resultados aproximados con las siguientes suposiciones adicionales:
- Interacción en el vacío: despreciamos cualquier efecto del medio de fondo, como los efectos de apantallamiento del plasma. Esto es razonable para frecuencias de fotones mucho mayores que la frecuencia del plasma. con la densidad de electrones del plasma. Nótese que las ondas de luz son evanescentes para y se necesitaría una aproximación significativamente diferente.
- Fotones suaves: , es decir, la energía del fotón es mucho menor que la energía cinética inicial del electrón.
Con estos supuestos, dos parámetros sin unidad caracterizan el proceso: , que mide la fuerza de la interacción Coulomb electrón-ión, y , que mide la "suavidad" del fotón y suponemos que es siempre pequeña (la elección del factor 2 es por conveniencia posterior). En el límite , la aproximación cuántico-mecánica de Born da:
En el límite opuesto , el resultado cuántico-mecánico completo se reduce al resultado puramente clásico
donde es la constante de Euler-Mascheroni. Nótese que que es una expresión puramente clásica sin la constante de Planck .
Una forma semiclásica y heurística de entender el factor de Gaunt es escribirlo como y son los "parámetros de impacto" máximo y mínimo para la colisión electrón-ión, en presencia del campo eléctrico del fotón. Con nuestros supuestos, : para parámetros de impacto mayores, la oscilación sinusoidal del campo de fotones proporciona una "mezcla de fases" que reduce fuertemente la interacción. es la mayor de la longitud de onda deBroglie cuántico-mecánica y la distancia clásica de máxima aproximación donde la energía potencial de Coulomb electrón-ión es comparable a la energía cinética inicial del electrón.
Las aproximaciones anteriores se aplican generalmente siempre que el argumento del logaritmo sea grande, y se rompen cuando es menor que la unidad. En concreto, estas formas para el factor de Gaunt se vuelven negativas, lo que no es físico. Una aproximación a los cálculos completos, con los límites de Born y clásicos apropiados, es
En el plasma
[editar]NOTA: esta sección da actualmente fórmulas que se aplican en el límite de Rayleigh-Jeans , y no utiliza un tratamiento cuantizado (Planck) de la radiación. Por tanto, no aparece un factor habitual como . La aparición de en a continuación se debe al tratamiento cuántico-mecánico de las colisiones.
En un plasma, los electrones libres colisionan continuamente con los iones, produciendo bremsstrahlung. Un análisis completo requiere tener en cuenta tanto las colisiones binarias de Coulomb como el comportamiento colectivo (dieléctrico). Bekefi ofrece un tratamiento detallado,[9] mientras que Ichimaru ofrece un tratamiento simplificado.[10] En esta sección seguimos el tratamiento dieléctrico de Bekefi, con las colisiones incluidas aproximadamente a través del número de onda de corte, .
Consideremos un plasma uniforme, con electrones térmicos distribuidos según la distribución de Maxwell-Boltzmann con la temperatura . Siguiendo a Bekefi, la densidad espectral de potencia (potencia por intervalo de frecuencia angular por volumen, integrada sobre todo el sr de ángulo sólido, y en ambas polarizaciones) del bremsstrahlung radiado, se calcula que es
donde es la frecuencia del plasma de electrones, es la frecuencia de fotones, es la densidad numérica de electrones e iones, y otros símbolos son constantes físicas. El segundo factor entre corchetes es el índice de refracción de una onda luminosa en un plasma, y muestra que la emisión se suprime en gran medida para (esta es la condición de corte para una onda luminosa en un plasma; en este caso la onda luminosa es evanescente). Por tanto, esta fórmula sólo se aplica para . Esta fórmula debe sumarse sobre las especies de iones en un plasma multiespecie.
La función especial se define en el artículo integral exponencial, y la cantidad sin unidades es
es un número de onda máximo o de corte, que surge debido a las colisiones binarias, y puede variar con las especies de iones. Aproximadamente, cuando (típico en plasmas no demasiado fríos), donde eV es la energía Hartree, y [aclaración requerida] es la longitud de onda térmica de Broglie del electrón. En caso contrario, donde es la distancia de Coulomb clásica de máxima aproximación.
Para el caso habitual , encontramos
La fórmula para es aproximada, ya que no tiene en cuenta la emisión mejorada que se produce para ligeramente por encima de .
En el límite , podemos aproximar como donde es la constante de Euler-Mascheroni. El término principal, logarítmico se utiliza con frecuencia, y se asemeja al logaritmo de Coulomb que se produce en otros cálculos de plasma colisional. Para el término logarítmico es negativo, y la aproximación es claramente inadecuada. Bekefi proporciona expresiones corregidas para el término logarítmico que coinciden con los cálculos detallados de colisión binaria.
La densidad de potencia de emisión total, integrada en todas las frecuencias, es
- and decreases with ; it is always positive. For , we find
Nótese la aparición de debido a la naturaleza cuántica de . En unidades prácticas, una versión comúnmente utilizada de esta fórmula para es[11].
Esta fórmula es 1,59 veces la dada anteriormente, con la diferencia debida a los detalles de las colisiones binarias. Tal ambigüedad se expresa a menudo introduciendo el factor de Gaunt , por ejemplo en[12] uno encuentra
donde todo está expresado en las unidades CGS.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- ↑ Haug, Eberhard; Nakel, Werner (1 de enero de 2004). The Elementary Process of Bremsstrahlung (en inglés). World Scientific. ISBN 9789812795007. Consultado el 15 de diciembre de 2015.
- ↑ A Plasma Formulary for Physics, Technology, and Astrophysics, D. Diver, pp. 46–48.
- ↑ Introduction to Electrodynamics, D. J. Griffiths, pp. 463–465
- ↑ a b Jackson, Classical Electrodynamics, Sections 14.2–3
- ↑ Sommerfeld, A. (1931). «Über die Beugung und Bremsung der Elektronen». Annalen der Physik (en alemán) 403 (3): 257-330. Bibcode:1931AnP...403..257S. doi:10.1002/andp.193140302.
- ↑ Karzas, W. J.; Latter, R. (Mayo 1961). «Transiciones radiativas de electrones en un campo de Coulomb.». The Astrophysical Journal Supplement Series 6: 167. Bibcode:167K 1961ApJS....6.. 167K. ISSN 0067-0049. doi:10.1086/190063.
- ↑ Weinberg, Steven (30 de abril de 2019). «Soft bremsstrahlung». Physical Review D 99 (7): 076018. Bibcode:2019PhRvD..99g6018W. ISSN 2470-0010. S2CID 85529161. arXiv:1903.11168. doi:10.1103/PhysRevD.99.076018.
- ↑ Pradler, Josef; Semmelrock, Lukas (1 de noviembre de 2021). «Nonrelativistic Electron–Ion Bremsstrahlung: An Approximate Formula for All Parameters». The Astrophysical Journal 922 (1): 57. Bibcode:2021ApJ...922...57P. ISSN 0004-637X. S2CID 235248150. arXiv:2105.13362. doi:10.3847/1538-4357/ac24a8.
- ↑ Radiation Processes in Plasmas, G. Bekefi, Wiley, 1ª edición (1966)
- ↑ Basic Principles of Plasmas Physics: A Statistical Approach, S. Ichimaru, p. 228.
- ↑ NRL Plasma Formulary, 2006 Revision, p. 58.
- ↑ Radiative Processes in Astrophysics, G.B. Rybicki & A.P. Lightman, p. 162.
Bibliografía
[editar]- Landau & Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.
- Segura González, Wenceslao, Teoría de campo relativista, eWT Ediciones, 2014, ISBN 978-84-617-1463-6.