Entorno (matemática)
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Un entorno (o vecindad)[1] es uno de los conceptos básicos de la topología. Además, este concepto se utiliza en muchas otras áreas de las matemáticas como el análisis y la teoría de la probabilidad. Intuitivamente hablando, un entorno de un punto es un conjunto que contiene al punto y a un conjunto de los puntos más próximos a él. El aspecto geográfico de vecindad en un lugar se refleja en este concepto matemático.
El concepto de entorno está estrechamente relacionado con los conceptos de conjunto abierto y punto interior.
Definición
[editar]Si (X,Τ) es un espacio topológico y p es un punto perteneciente a X, un entorno de p es un conjunto V en el que está contenido un conjunto abierto U que tiene como elemento al punto p,
Nótese que el entorno V no tiene por qué ser un conjunto abierto. Si V es abierto se denomina entorno abierto. Algunos autores especifican que los entornos deben ser abiertos, por lo que es importante prestar cuidado a las diferentes definiciones.
El conjunto de todos los entornos de un punto se denomina sistema completo de entornos del punto.
Si S es un subconjunto de X, un entorno de S es un conjunto V, que contiene un conjunto abierto U que contiene a S. Se deduce que un conjunto V es un entorno de S si y solo si es un entorno de todos los puntos de S.
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Clases de entorno
[editar]- Entorno reducido o entorno perforado: un entorno de un punto es un entorno reducido si el propio punto no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a . Nótese que, a pesar de su nombre, un entorno reducido no es un entorno propiamente dicho ya que no contiene a .
- Entornos abiertos: un entorno de un punto es entorno abierto de si es un conjunto abierto (es decir, ).
- Entornos cerrados: un entorno de un punto es entorno cerrado de si es un conjunto cerrado.
- Entorno compacto: un entorno de un punto es entorno compacto de si es un conjunto compacto.
- Entorno conexo: un entorno de un punto es entorno conexo de si es un conjunto conexo
- Entorno conexo por caminos: un entorno de un punto es entorno conexo por caminos de si es un conjunto conexo por caminos.
- Entorno simplemente conexo: un entorno de un punto es entorno simplemente conexo de si es un conjunto simplemente conexo.
- Entorno convexo: un entorno de un punto en un espacio vectorial topológico es entorno convexo de si es un conjunto convexo.
En espacios métricos
[editar]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Neighborhood_illust3.svg/220px-Neighborhood_illust3.svg.png)
En un espacio métrico M = (X, d), un conjunto V es un entorno de un punto p si existe una bola abierta con centro p y radio r,
que es contenida en V.
V es llamado entorno uniforme de un conjunto S si existe un número positivo r tal que para todos los elementos p de S,
estén contenidos en V.
Para r > 0 el r-entorno de un conjunto S es el conjunto de todos los puntos en X que distan menos de r desde S (o equivalentemente, es la unión de todas las bolas abiertas de radio r que tienen centro en un punto de S).
Se deduce entonces que un r-entorno es un entorno uniforme, y que un conjunto es un entorno uniforme si y solo si contiene un r-entorno para algún valor de r.
Ejemplo
[editar]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/1_Zahl_mit_Epsilon_Umgebung.svg/300px-1_Zahl_mit_Epsilon_Umgebung.svg.png)
Dado el conjunto de números reales con la distancia euclidiana y un subconjunto V definido como:
entonces V es un entorno del conjunto de números naturales, pero no es un entorno uniforme de este conjunto.
Topología de entornos
[editar]La definición superior es útil si la noción de conjunto abierto está previamente definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, primeramente definiendo su base de entornos, y entonces los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen un entorno para cada uno de sus puntos.
Una base de entornos en X es la asignación de un filtro N(x) (en el conjunto X) para cada X en X tal que:
- el punto X es un elemento de cada U en N(x).
- cada U en N(x) contiene algún V en N(x) tal que para cada y en V, U esté en N(x).
Entorno uniforme
[editar]En un espacio uniforme S:=(X, δ) V es denominado entorno uniforme de p si p no es cercano a X \ V, tal que allí no exista un espacio uniforme que contenga a p y X \ V.
Entorno reducido
[editar]Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos p. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.
Propiedades
[editar]Sea (X, T) un espacio topológico, Vc(x) familia de vecindades del punto x.
- El punto x está en V para cada V elemento de Vc(x). Un punto está en cualquiera de sus vecindades.
- Si las vecindades V y U están en Vc(x), entonces la intersección de V y U está en la familia Vc(x).
- Si U está en Vc(x) entonces existe una vecindad V de Vc(x), tal que U está en Vc(y) para cada y miembro de V.
- Si U está en Vc(x) y U es subconjunto de V, entonces V está en Vc(x). Un superconjunto de una vecindad también es vecindad.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- ↑ Clara Neira. Notas de Topología
Bibliografía
[editar]- Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
- Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263.
- Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948.