C*-algèbre

Modèle:Ebauche mathématiques

En mathématiques, une C*-algèbre est une algèbre de Banach involutive, c'est à dire un espace vectoriel normé complet sur le corps des complexes, muni d'une involution notée ${\displaystyle *}$, et d'une loi de composition interne (produit), qui vérifient:

${\displaystyle (x+\lambda y)^{*}=x^{*}+{\bar {\lambda }}y^{*};(xy)^{*}=y^{*}x^{*};(x^{*})^{*}=x}$

${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|}$

et ${\displaystyle \|x^{*}x\|\leq \|x\|^{2}}$

Exemples de C*-algèbres

Soit ${\displaystyle X}$ un espace compact, alors ${\displaystyle C(X)}$, l'algèbre des fonctions continues sur ${\displaystyle X}$ à valeurs complexes est une C*-algèbre commutative avec unité. Si ${\displaystyle X}$ est localement compact, mais non compact, ${\displaystyle C_{0}(X)}$, l'algèbre des fonctions continues sur ${\displaystyle X}$ qui tendent vers zéro à l'infini est une C*-algèbre commutative sans unité. Si ${\displaystyle H}$ désigne un espace de Hilbert, toute sous-algèbre fermée pour la norme d'opérateurs de l'algèbre des opérateurs bornés sur ${\displaystyle H}$ est une C*-algèbre, a priori non commutative.

Spectre des éléments d'une C*-algèbre

Tout comme pour les opérateurs dans un espace de Hilbert, on peut définir le spectre des éléments d'une C*-algèbre. Le spectre de ${\displaystyle x}$ est l'ensemble: ${\displaystyle \sigma (x)=\{\lambda \in \mathbb {C} ;x-\lambda 1\mathrm {n'estpasinversible} \}}$. Cet ensemble suppose que l'algèbre contenant ${\displaystyle x}$ ait une unité. Cependant, si ce n'est pas le cas, on peut toujours définir le spectre en adjoignant une unité à l'algèbre. (détailler la méthode pour adjoindre l'élément unité ?)

Classification des C*-algèbres commutatives

Une C*-algèbre commutative ${\displaystyle A}$ est isométriquement isomorphe à ${\displaystyle C_{0}(X)}$ où ${\displaystyle X}$ est localement compact, et même compact si ${\displaystyle A}$ a une unié. L'isomorphisme est construit via la transformée de Gelfand, et passe par l'étude des caractères de l'algèbre ${\displaystyle A}$.

Le calcul fonctionnel continu

Si ${\displaystyle x}$ est un élément normal d'une C*-algèbre ${\displaystyle A}$ (c'est à dire commutant à son adjoint), alors il existe un *-isomorphisme isométrique entre l'algèbre des fonctions continues sur le spectre de ${\displaystyle x}$ et la sous-C*-algèbre de ${\displaystyle A}$ engendrée par ${\displaystyle x}$ et 1. Autrement dit, pour tout ${\displaystyle f}$ continue sur ${\displaystyle \sigma (x)}$, on peut définir ${\displaystyle f(x)}$ de manière unique, comme un élément de ${\displaystyle A}$. Ce calcul fonctionnel prolonge le calcul fonctionnel polynomial, et ${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x))}$ (théorème spectral).

La construction GNS

On doit à Gelfand, Naimark et Segal la construction d'un isomorphisme isométrique (ou représentation fidèle) entre toute C*-algèbre, et une sous-algèbre fermée de l'algèbre des opérateurs sur un certain espace de Hilbert ${\displaystyle H}$ (que l'on construit en même temps que l'isomorphisme). La théorie des C*algèbre peut donc se ramener à la théorie des opérateurs sur les espaces de Hilbert.

Remarques

Le fait que les C*-algèbres commutatives sont des algèbres de fonctions permet de penser la théorie des C*-algèbre comme une théorie des fonctions non commutatives. Mais comme l'étude des fonctions continues sur un espace compact est équivalente à l'étude de la topologie de cet espace (par théorème de Banach-Stone), on donne plus volontiers à l'étude des C^*-algèbres le nom de topologie non commutative.

Voir aussi

• Analyse fonctionnelle : L'étude des C*-algèbres, notamment par son aspect spectral, est une branche de l'analyse fonctionnelle.
• Algèbre des opérateurs : L'étude des C*-algèbre peut se ramener à l'étude des opérateurs sur un hilbert par la construction GNS.
• K-theorie : Les outils de K-théorie, développés d'abord pour l'étude des fibrés, peuvent être adaptés à l'étude des C*-algèbres. On obtient en quelque sorte une topologie algébrique non commutative.
• Géométrie non commutative : Ce domaine cherche des analogues aux notions de la géométrie différentielle (connexions, cohomologie ...) dans le cadre non commutatif des algèbres d'opérateurs.