Espace métrique faible
Apparence
En mathématiques, un espace métrique faible[1] (ou espace hémi-métrique) généralise la notion d'espace métrique et même d'espace pseudo-métrique.
Définition
[modifier | modifier le code]Une distance faible sur un ensemble est une fonction
telle que pour tout ,
Un espace métrique faible est alors un couple formé d'un ensemble et d'une distance faible sur .
Exemples
[modifier | modifier le code]C'est le cas des distances dans un réseau comportant des segments à sens unique, et généralement dans tout graphe orienté.
Cas particuliers
[modifier | modifier le code]- Une distance faible symétrique est un écart.
- Une distance faible qui vérifie la propriété de séparation est une quasi-distance.
- Une distance faible qui vérifie à la fois ces deux propriétés est une distance.
Propriétés topologiques
[modifier | modifier le code]Une distance faible induit une topologie sur . Une base d'ouverts de cette topologie est donnée par l'ensemble :
où est la boule ouverte de rayon centrée en . En particulier, tout point de admet une base dénombrable de voisinages.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hemimetric space » (voir la liste des auteurs).
- H Ribeiro, « Sur les espaces à métrique faible », Portugaliae mathematica, vol. 4, no 1, , p. 21-40 (lire en ligne)