In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale.
Sia
un gruppo, e
un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione di equivalenza su
definita, per ogni
appartenenti a
, da[1]
.
Si indica con
la classe d'equivalenza
![{\displaystyle [g]=\{hg\mid h\in H\}=Hg}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37746ec24b740faf642133d7fe04f56935b1aa3)
per ogni
appartenente a
(laterale destro di
in
). In modo analogo è possibile definire la classe
![{\displaystyle [g]^{*}=\{gh\mid h\in H\}=gH}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5ec99840c48a6fbc810d042bed0b51227f8e52)
(laterale sinistro), definita dalla relazione:
.
Poiché
è normale,
, cioè i laterali coincidono.
Si definisce gruppo quoziente
l'insieme
![{\displaystyle G/H=\{[g]\mid g\in G\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbb49dd308c03de2afd5237c826bff378840fe1)
delle classi d'equivalenza; la classe
è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di
, sicché
![{\displaystyle g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9369af9eede706469014ab3ed9185b8c99b8572d)
e
.
L'insieme
può anche essere visto come l'insieme dei laterali di
in
.
L'insieme
è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però
è normale (come è stato assunto), si può munire
di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in
; si definisce infatti il seguente prodotto:
![{\displaystyle gH*g^{\prime }H:=gg^{\prime }H}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f33a0afad1f968d1b7db45fcc737be36c4a78f)
ossia
.
Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:
- se
e
(cioè se
e
, con
), allora
, che appartiene a
perché questo è normale; di conseguenza,
, e il prodotto è ben definito;
- l'elemento unità di
è proprio
(dove
è l'elemento unità di
), in quanto, per ogni
, si ha
.
- vale la relazione
, perché
(cioè
è l'inverso di
).
Pertanto,
è un gruppo.
Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:
.
Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè
![{\displaystyle \pi (gg^{\prime })=\pi (g)*\pi (g^{\prime })}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22402eac597759a1d32fddbaecb57bcc5f7f16ac)
per ogni
appartenenti a
.
L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni
, si ha
.
Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme
, dato che[2]
![{\displaystyle g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610f5bf7078cff617fb6c5f4f5c98c362e49d007)
- ^ Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.
- ^ Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da
a
è l'insieme degli elementi di
che la funzione applica nell'elemento neutro di
(in questo caso,
).