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数学において、有理化(ゆうりか、英: rationalization)とは、根号を含む式(とくに平方根を含む分数式の分母または分子)から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数(代数的無理数)を有理数に変える操作であることからこの名がある。
有理化をすることで計算がしやすくなったりする。[1]例えば分母の有理化
![{\displaystyle {\frac {1}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {3}})}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}}={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4-3}}={2-{\sqrt {3}}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ef9cfb413f325fa158bf39eca2f8efeeb180cf)
などがあげられる。
抽象代数学���にはこの例は、
を有理数体、
が有理数の平方ではないとしたとき
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\left\{{\frac {a+b{\sqrt {d}}}{a'+b'{\sqrt {d}}}}\,{\Big |}\,a,a',b,b'\in \mathbb {Q} \right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45cad01f81c416d878d99e4ff543f301c35847b4)
という
の二次拡大体を考えると、
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}](=\{a+b{\sqrt {d}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6118b32ce387583dbaf978e9e9b7a81e979572)
が成り立つ、という主張に一般化できる。
これは
の各元
に対し、その拡大
に関する共役元
を掛ければ
![{\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}}):=(a+b{\sqrt {d}})(a-b{\sqrt {d}})=a^{2}-b^{2}d}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4634f7c63285837ca6ccbc7b26d17cc495afa6c0)
(この
は
の(拡大
に関する)ノルムと呼ばれる。)が
に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。
一般に、体 K の(有限次ガロア)拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元(二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある)をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。
以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、
を実数体
にとりかえ、d = −1 としてみよう。
![{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})=\{a+b{\sqrt {-1}}\mid a,b\in \mathbb {R} \}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3cd7435f7bf25e3f413df3fadee1d631bf41a2)
(ここで、
は虚数単位のことである。)であって、各元(つまり複素数)
の
に関する共役元とは、共役複素数
のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると
![{\displaystyle N(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=(a+b{\sqrt {-1}})(a-b{\sqrt {-1}})=a^{2}+b^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a6341f72bd8ecdb3efb0111a1c0142f97530d6)
は
に属する。したがってたとえば、
![{\displaystyle {\frac {1}{2+{\sqrt {-1}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {-1}})}{(2+{\sqrt {-1}})(2-{\sqrt {-1}})}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{4+1}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{5}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4423ea21c2d6e55729dd9fa590147a92db156ae)
などの変形が可能である。このような変形を(分母の)実数化ということがある。