古典力学
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運動の第2法則
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歴史(英語版)
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慣性モーメント(かんせいモーメント、英: moment of inertia)あるいは慣性能率(かんせいのうりつ)、イナーシャ I とは、物体の角運動量 L と角速度 ω との間の関係を示す量である。
質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル L は次のように書ける。
[1]
ここでmi は i 番目の質点の質量、ri は回転軸上の原点との相対座標でありriはその大きさである。この式からわかるように、L は ω と向きは必ずしも一致しないが、ω を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、
と表せる。この変換 I は2階のテンソルであり、LとIの各成分は
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6409463b3f97c632daabf1ad3a2dc701a8b22114)
という形に表される[2]。ここに δjk はクロネッカーのデルタ、ri, j はベクトル ri の j 成分である。I を行列表示すると
となる。この定義から I は対称テンソルである。この2階のテンソル I を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ[2]。また、慣性テンソルの対角成分 Ixx、Iyy、Izz を(それぞれ x、 y、 z 軸に関する)慣性モーメント係数(英: moment of inertia coefficient)と呼び、
Ixy、Iyz、Izx は 慣性乗積(英: products of inertia)と呼ぶ[3]。
なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて
となる[4]。
物体をある回転軸まわりに回転させたとき、ωと同じ向きをもつ単位ベクトルnをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。
ここで、ω = |ω|は角速度の大きさである。
ここに与えられたスカラー量
をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ[5]。
慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 { e1, e2, e3 } を選ぶことで対角化(すなわち Ixy = Iyz = Izx = 0 と)することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント { I1, I2, I3 } を主慣性モーメントと呼ぶ[6]。慣性主軸座標系では角運動量は
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed8020b596f72b5fa454f773470786e449f6e2d)
と単純に表すことができる。
重さの無視できる長さ L の棒の両端に、質量 m 、M の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ a、L - a とする。このとき、中心に対する慣性モーメント I は、
![{\displaystyle I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771fc657acfa63616ee2811b2b54f11389a4ee31)
と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心(回転軸)のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。
半径 a 、全質量 M の、一様な密度 ρ = M / πa2 をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは
となる。
これは中心から半径 r 、幅 dr << r のリングの質量 dM を考えると
より、このリングの慣性モーメント dI が
だから
より求めることができる。
円板外半径 a 、くり抜き内半径 b 、全質量 M のリング状円板では、前出の dI を用いて
となる。
一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。
また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 IG をとり、軸が重心から距離 h だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント Ih は
となる[7]。
慣性テンソル I の物体が角速度 ω で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー T は
と表示できる[8]。
- 回転半径
- 慣性モーメント I は物体の質量 M に比例するから、
![{\displaystyle I=M\kappa ^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd494d24b5f97b6e1753b4fe4249b94b2725d3c)
- と書くことができる。この κ は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる[7]。
- はずみ車効果
- 慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径 D を用いて定義されるはずみ車効果 GD2 がある。
工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール(はずみ車)という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。
回転運動と並進運動の対応一覧
量
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回転運動
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並進運動
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力学変数
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角度
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位置
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一階微分
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角速度
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速度
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二階微分
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角加速度
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加速度
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慣性
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慣性モーメント
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質量
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運動量
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角運動量
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運動量
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力
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力のモーメント
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力
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運動方程式
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運動エネルギー
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仕事
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仕事率
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ダンパーとばねに発生する力を 考慮した運動方程式
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線形・直線運動の量 |
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角度・回転運動の量 |
次元 |
— |
L |
L2 |
次元 |
— |
— |
— |
T |
時間: t s |
absement: A m s(英語版) |
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T |
時間: t s |
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— |
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距離: d, 位置: r, s, x, 変位 m |
面積: A m2 |
— |
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角度: θ, 角変位(英語版): θ rad |
立体角: Ω rad2, sr |
T−1 |
周波数: f s−1, Hz |
速さ(速度の大きさ): v, 速度: v m s−1 |
動粘度: ν, 比角運動量(英語版): h m2 s−1 |
T−1 |
周波数: f s−1, Hz |
角速度(の大きさ): ω, 角速度: ω rad s−1 |
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T−2 |
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加速度: a m s−2 |
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T−2 |
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角加速度: α rad s−2 |
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T−3 |
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躍度: j m s−3 |
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T−3 |
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角躍度: ζ rad s−3 |
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M |
質量: m kg |
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M L2 |
慣性モーメント: I kg m2 |
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M T−1 |
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運動量: p, 力積: J kg m s−1, N s(英語版) |
作用: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s(英語版) |
M L2 T−1 |
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角運動量: L, 角力積: ΔL kg m2 s−1 |
作用: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s |
M T−2 |
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力: F, 重さ: Fg kg m s−2, N |
エネルギー: E, 仕事: W kg m2 s−2, J |
M L2 T−2 |
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トルク: τ, 力のモーメント: M kg m2 s−2, N m |
エネルギー: E, 仕事: W kg m2 s−2, J |
M T−3 |
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yank: Y kg m s−3, N s−1 |
仕事率: P kg m2 s−3, W |
M L2 T−3 |
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rotatum: P kg m2 s−3, N m s−1 |
仕事率: P kg m2 s−3, W |
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