유한체
체론에서 유한체(有限體, 영어: finite field) 또는 갈루아 체(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다.
정의
유한체는 항상 양의 표수 를 갖는다 (는 소수). 표수가 인 유한체의 크기는 항상 의 거듭제곱이다. 즉, 의 꼴이다 (). 크기가 인 유한체는 또는 이라고 쓴다. 크기가 같은 유한체는 서로 동형이다.
구성
크기가 인 유한체 은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.
우선, 는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군 이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 p-합동류이다.
은 다음과 같이 정의할 수 있다. 가 계수를 가진 n차 기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서
이다. 여기서 는 로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다.
성질
유한체는 순서체가 될 수 없다. 에서는
이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식
을 만족시킬 수 없다.
프로베니우스 자기 동형 사상
유한체 은 다음과 같은 꼴의 개의 자기 동형 사상 을 가진다. 이를 프로베니우스 자기 동형 사상이라고 한다. 이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다.
물론 이 된다.
포함 관계
만약 이라면, 자연스러운 포함 관계
가 존재한다. 이에 따라 표수 p의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다.
이렇게 얻은 체 는 임의의 n에 대하여 의 대수적 폐포이다.
이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서 에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환 의 사유한 완비
이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.
덧셈군과 곱셈군
예
비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.
𝔽2
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𝔽3
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𝔽4
이 경우 기약 일계수 다항식 를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
아래 표에서는 , 로 표기한다.
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같이 보기
참고 문헌
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외부 링크
- Waldschmidt, Michel (2013년 9월 16일). “Finite fields” (PDF) (영어). 2013년 12월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 12월 28일에 확인함.
- Skopin, A.I. (2001). “Galois field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Finite field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.