Richtingsveld
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Slope_Field.png/250px-Slope_Field.png)
In de wiskunde is een richtingsveld een ruimtelijke weergave van de richtingen van de oplossingen van een eerste-orde-differentiaalvergelijking. Een richtingsveld kan worden gemaakt zonder de differentiaalvergelijking analytisch op te lossen en is daarom nuttig als indicatie van de integraalkrommen. Een richtingsveld kan worden gebruikt om de oplossingen numeriek te benaderen en een grafische voorstelling van het richtingsveld kan de oplossingen kwalitatief visualiseren.
Definitie
De eerste-orde-differentiaalvergelijking
geeft voor elke waarde van en de helling van de raaklijn aan de integraalkromme in dat punt. Het richtingsveld wordt gegeven door aan elk punt een vector met helling toe te voegen. Men kiest daarvoor de vector of de genormeerde versie daarvan.
Voor een stelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen
is het richtingsveld een array van hellingsmarkeringen in de faseruimte (in elk willekeurig aantal dimensies, afhankelijk van het aantal relevante variabelen; bijvoorbeeld, twee in het geval van een eerste-orde lineaire gewone differentiaalvergelijking, zoals in het plaatje rechts te zien is.) Elke hellingsmarkering is gecentreerd op een punt en loopt parallel aan de vector
Het aantal, de positie en lengte van de hellingmarkeringen kunnen willekeurig zijn. De posities worden meestal gekozen als voor willekeurige (maar meestal gelijke) en voor alle gehele getallen , die punten binnen de gekozen intervallen produceren. De lengte van de hellingsmarkeringen is meestal geheel uniform en unitair of niet groter dan de kleinste van .
Definitie, onafhankelijk van differentiaalvergelijkingen
In de differentiaalvergelijkingen hierboven zijn alleen de rechterleden van belang voor de bepaling van het richtingsveld; vandaar de volgende, algemenere definitie:[1]
- Zij een open deelverzameling van de -dimensionale euclidische ruimte. Een richtingsveld op is een afbeelding die met elk punt van een rechte door associeert.
Deze definitie omvat het eerdere geval door met ieder punt in dimensies de rechte te associëren die door gaat met richtingsgetallen
Een integraalkromme van het richtingsveld is een differentieerbare kromme waarvan de raaklijn in ieder punt samenvalt met het richtingsveld in dat punt.
Zie ook
Externe links
- (en) http://mathworld.wolfram.com/SlopeField.html Richtingsveld op MathWorld
- (en) Richtingsveldplotter
Referenties
- (en) Blanchard, Paul; Devaney, Robert L. en Hall, Glen R. (2002). Differential Equations (2nd ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1
- ↑ D.V. Anosov en V.I. Arnold (red.), "Dynamical Systems I: Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems," Encyclopaedia of Mathematical Sciences 1, Springer 1987.