Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Dei komplekse tala er den algebraiske lukkinga av dei reelle tala og kan uttykkast som mengda av alle
, kor
og
er reelle tal og
er definert slik at
.
er ein kropp under naturleg addisjon og multiplikasjon.
La
kor
.
er den reelle delen av
og
er den imaginære delen av
.
Dei komplekse tala kan definerast og konstruerast på fleire måtar. Me definerer fyrst eksplisitt
, kor
. Det er ikkje vanskeleg å sjå at dette utgjer ein kropp, kor den additive inversen til
er gitt ved
og den multiplikative inversen til
(gitt at ikkje både
) er gitt ved
![{\displaystyle (x+iy)^{-1}=1/(x+iy)=(x-iy)/(x^{2}+y^{2})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b8923f549766b3732575a2f4c5f2bc8311684e)
At addisjon og multiplikasjon er assosiative operasjoner og distribuerar over kvarandre følgjer frå at addisjon og multiplikasjon av dei reelle tala har desse eigenskapene. Me har dermed vist at
utgjer ein kropp ut frå denne definisjonen.
Det er også mogleg å konstruera dei komplekse tala frå polynomringen
til
. Merk fyrst at polynomet
er irredusibelt over dei reelle tala. Dermed utgjer kvotientringen
ein kropp, kor
er idealet generert av
. Multiplikasjon og addisjon i
er arva frå multiplikasjon og addisjon i
.
består av element på formen
kor
og
.