Igła Buffona
Igła Buffona – jeden z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges’a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon[1], a w 1777 podał on jego rozwiązanie[2].
Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby należy do klasy metod Monte Carlo.
Opis problemu i rozwiązanie
[edytuj | edytuj kod]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Buffon_needle.gif)
Mamy planszę z zaznaczonymi pionowymi liniami odległymi od siebie o Upuszczamy na nią igłę o długości przy czym Eksperyment powtarzamy razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość Jak oszacować stosunek czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?
Niech będzie odległością środka igły od najbliższej linii, a ostrym kątem między igłą a linią. Obie zmienne losowe są niezależne i podlegają rozkładowi równomiernemu:
Igła przetnie linię jeśli
Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:
Ponieważ eksperyment pozwala oszacować prawdopodobieństwo przecięcia linii i igły przez otrzymujemy równość:
która po przekształceniu daje:
Komentarze
[edytuj | edytuj kod]Pierwotna wersja problemu dotyczyła oszacowania prawdopodobieństwa w grze Franc-Carreau polegającej na rzucaniu okrągłą monetą na podłogę podzieloną na kwadraty[3]. Przegrana następowała, gdy moneta upadła na linię.
Jeżeli znamy liczbę π, opisany eksperyment może służyć jako estymacja innych zmiennych, np. długości igły.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Métin Frédéric. „La mémoire des nombres. Buffon et le problème de l’aiguille: Le mémoire sur le jeu de Franc-Carreau de 1733”. s. 343–359, IREM de Basse-Normandie Caen, 1997.
- ↑ Georges Buffon. „Essai d’arithmétique morale”, 1777.
- ↑ Scott E. Brodie. „Buffon’s Needle Problem”, http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Buffon's Needle Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).