Atlas (matematyka)
Atlas – kolekcja map, przypisanych pewnej rozmaitości, taka że każdemu podzbiorowi rozmaitości przypisana jest jakaś mapa (zwanej też: mapą współrzędnych lub lokalnym układem współrzędnych). Istnieje wiele możliwych atlasów, jakie można utworzyć dla danej rozmaitości. Atlas opisuje sposób, w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową.
Definicja mapy
[edytuj | edytuj kod]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Transition.gif/220px-Transition.gif)
Niech dana będzie rozmaitość o wymiarze Niech będzie otwartym podzbiorem
Mapą na rozmaitości w otoczeniu nazywa się parę gdzie
jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór przestrzeni
Sklejanie map (przekształcenie przejścia)
[edytuj | edytuj kod]Dla dwóch map i na o tej własności, że zbiór
jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)
dane wzorem:
Przekształcenia i są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.
Zgodność gładka map
[edytuj | edytuj kod]Dwie nakładające się mapy oraz nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne.
Definicja atlasu
[edytuj | edytuj kod]Zbiór map na które stanowią pokrycie zbioru tj. nazywany jest atlasem rozmaitości
Jeśli przeciwdziedziny wszystkich map są -wymiarowymi przestrzeniami euklidesowymi o tym samym wymiarze to o rozmaitości mówimy, że jest rozmaitością -wymiarową.
Własność atlasu
[edytuj | edytuj kod]Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej ma atlas przeliczalny (twierdzenie Lindelöfa).
Atlas gładki. Atlasy zgodne. Atlas maksymalny.
[edytuj | edytuj kod]1) Atlasem gładkim na nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.
2) Atlasy oraz na nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z które nakładają się na mapy z są zgodne w sposób gładki.
3) Atlas utworzony z atlasów oraz zgodnych w sposób gładki również jest atlasem gładkim na
4) Atlasem maksymalnym nazywa się relację równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki.
5) Rozmaitości wraz z atlasem maksymalnym nazywa się rozmaitością o gładkiej strukturze.
Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.
W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.
Struktura niegładka i analityczna
[edytuj | edytuj kod]Wymagania różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić, wymagając jedynie, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko -krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę Ck lub strukturę analityczną na rozmaitości zamiast struktury gładkiej.
Podobnie definiuje się struktury różniczkowe na rozmaitości zespolonej, wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2006. ISBN 978-0-387-95448-6.
- Mark R. Sepanski: Compact Lie Groups. Springer-Verlag, 2007. ISBN 978-0-387-30263-8.