Série harmónica (matemática)
Em matemática, a série harmônica (português brasileiro) ou série harmónica (português europeu) é a série infinita definida como:
O nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).
Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme[1]) faz-se tendo em conta que a série
é termo a termo maior que ou igual à série
que claramente diverge.
Soma dos primos recíprocos
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Um resultado refinado prova que a série dos inversos dos primos diverge para infinito:
Série harmônica alternada
[editar | editar código-fonte]A série harmónica alternada é definida conforme:
Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural.
Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que
então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integrar cujo valor é ln(n).
Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante de Euler-Mascheroni, pode ser provado que:
Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:
em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver Lagarias, Jeffrey C. (2002). «An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis». The American Mathematical Monthly. 109: 534-543. doi:10.2307/2695443.)
A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries
para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.
Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.
Série divergente
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Existem definições da soma de séries divergentes que geram resultados importantes. Por exemplo, é possível justificar (sob um conceito generalizado de soma de uma série) que 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ou 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4, e até mesmo somas paradoxais como 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 ou 1 + 4 + 9 + 16 + ... = 0. No entanto, mesmo usando-se estes conceitos, a soma da série harmónica continua sendo infinita - o que é coerente com o valor da função zeta de Riemann no ponto z = 1.