Trigonometrična funkcija
Trigonometrija |
---|
![]() |
Sklici |
Zakoni in izreki |
Infinitezimalni račun |
Trigonométrične (trigonometríjske) ali kótne fúnkcije so pomembne matematične funkcije. Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so rezultati odvisni od kota. Starejše ime za te funkcije je kotomerne ali goniometrične (grško starogrško γωνία: lonía – kot) funkcije. Kotne funkcije so pomembne pri proučevanju trikotnikov in pri modeliranju periodičnih pojavov. Na njih sloni trigonometrija. Lahko jih določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali še bolj splošno kot razmerja koordinat točk na enotskem trigonometričnem krogu, oziroma kot neskončne vrste.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Trigonometrija-graf.svg/400px-Trigonometrija-graf.svg.png)
Obstaja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Sekans in kosekans se v novejšem času opuščata.
Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku
[uredi | uredi kodo]Sinus (sin) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.
Kosinus (cos) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.
Tangens (tg ali tan) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.
Kotangens (ctg ali cot) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in kotu nasprotno kateto.
Sekans (sec) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu priležno kateto. Velja: .
Kosekans (csc) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu nasprotno kateto. Velja: .
Kotne funkcije v enotskem krogu
[uredi | uredi kodo]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/sl/thumb/0/04/Trigonometrija-krog.png/250px-Trigonometrija-krog.png)
Z enotskim krogom (OA = 1) lahko funkcije opredelimo kot:
- sin α = BC - ordinata točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
- cos α = OB - abscisa točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
- tg α = AD - ordinata točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri x = 1
- ctg α = EF - abscisa točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri y = 1
- sec α = OD
- csc α = OF
Ciklometrične (krožne) funkcije
[uredi | uredi kodo]Vsaki trigonometrični funkciji pripada inverzna funkcija. Inverze trigonometričnih funkcij imenujemo krožne ali ciklometrične funkcije.
Ker trigonometrične funkcije niso bijektivne, so krožne funkcije le delno inverzi (inverzi le na določenem območju). V spodnji tabeli so navedeni ustrezni intervali (glavne vrednosti).
Trigonometrična funkcija | Krožna funkcija | Glavne vrednosti |
---|---|---|
x = sin y | y = arc sin x | -π/2 ≤ y ≤ π/2 |
x = cos y | y = arc cos x | 0 ≤ y ≤ π |
x = tg y | y = arc tg x | -π/2 ≤ y ≤ π/2 |
x = ctg y | y = arc ctg x | 0 ≤ y ≤ π |
x = sec y | y = arc sec x | 0 ≤ y ≤ π |
x = csc y | y = arc csc x | -π/2 ≤ y ≤ π/2 |
Izražanje funkcij s številskimi vrstami
[uredi | uredi kodo]Trigonometrične funkcije lahko za majhne vrednosti argumenta razvijemo v Taylorjevo vrsto (opomba: argument x mora biti v radianih):
Pri tem Bn označujejo Bernoullijeva števila.
Funkcije kompleksnega argumenta
[uredi | uredi kodo]Trigonometrične funkcije lahko razširimo tako, da dovolimo, da je argument funkcije kompleksen. Pri tem si lahko pomagamo z Eulerjevo enačbo:
Odtod dobimo
Osnovne zveze med kotnimi funkcijami
[uredi | uredi kodo]
Kotne funkcije komplementarnih kotov
[uredi | uredi kodo]
Prehod na ostri kot
[uredi | uredi kodo]
Kotne funkcije dvojnih kotov
[uredi | uredi kodo]
Kotne funkcije trojnih kotov
[uredi | uredi kodo]
Kotne funkcije polovičnih kotov
[uredi | uredi kodo]
Adicijski izreki
[uredi | uredi kodo]
Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]Glej tudi
[uredi | uredi kodo]- sinusni izrek
- kosinusni izrek
- faktorizacija (preoblikovanje vsote kotnih funkcij v produkt)
- razčlenjevanje (preoblikovanje produkta kotnih funkcij v vsoto)
- krožna funkcija
- hiperbolična funkcija