Тўлқин функсияси

Квант физикасидаги тўлқин функсияси изоляция қилинган тизим квант ҳолатининг математик тавсифидир. Тўлқин функсияси мураккаб қийматли эҳтимоллик амплитудаси бўлиб, тизимда ўтказилган ўлчовларнинг мумкин бўлган натижалари учун эҳтимолликлар ундан олиниши мумкин. Тўлқин функсияси учун энг кенг тарқалган белгилар юнонча ψ ва Ψ (мос равишда кичик ва катта пси).

Тўлқин функсияси коммутация кузатилиши мумкин бўлган баъзи максимал тўпламга мос келадиган эркинлик даражаларининг функсиясидир. Бундай тасаввур танлангандан сўнг, тўлқин функсияси квант ҳолатидан олиниши мумкин.

Берилган тизим учун қайси коммутация эркинлик даражаларини танлаш ягона эмас ва шунга мос равишда тўлқин функсиясининг соҳаси ҳам ягона эмас. Масалан, уни заррачаларнинг жойлашув фазосидаги барча координаталарининг функсияси ёки импулс фазосидаги барча заррачаларнинг моментларининг функсияси сифатида қабул қилиш мумкин; иккаласи Фуре конвертацияси билан боғланган. Электронлар ва фотонлар каби баъзи зарралар нолга тенг бўлмаган спинга эга ва бундай зарралар учун тўлқин функсияси спиннинг ўзига хос, дискрет эркинлик даражаси сифатида ўз ичига олади; изоспин каби бошқа дискрет ўзгарувчилар ҳам киритилиши мумкин. Агар тизим ички эркинлик даражаларига эга бўлса, тўлқин функсияси узлуксиз эркинлик даражаларининг ҳар бир нуқтасида (масалан, фазодаги нуқта) дискрет эркинлик даражаларининг ҳар бир мумкин бўлган қиймати учун комплекс сонни белгилайди (масалан, з- спиннинг компоненти) — бу қийматлар кўпинча устун матрицада кўрсатилади (масалан, спинли релативистик бўлмаган электрон учун 2 × 1 устунли вектор.

Квант механикасининг суперпозиция принсипига кўра, тўлқин функсиялари янги тўлқин функсиялари ва Гилберт фазосини ҳосил қилиш учун бир-бирига қўшилиши ва мураккаб рақамларга кўпайтирилиши мумкин. Икки тўлқин функсияси орасидаги ички йиғинди мос келадиган физик ҳолатлар ўртасидаги ўзаро боғлиқлик ўлчовидир ва квант механикасининг асосий эҳтимоллик талқинида, ички йиғиндига ўтиш эҳтимоли билан боғлиқ „Борн қоидаси“ дан фойдаланилади. Шредингер тенгламаси тўлқин функсияларининг вақт ўтиши билан қандай ривожланишини аниқлайди ва тўлқин функсияси бошқа тўлқинлар, масалан, сув тўлқинлари ёки ипдаги тўлқинлар каби сифат жиҳатидан ҳаракат қилади, чунки Шредингер тенгламаси математик жиҳатдан тўлқин тенгламасининг бир туридир. Бу „тўлқин функсияси“ номини тушунтиради ва тўлқин-заррача дуализмини келтириб чиқаради. Бироқ, квант механикасидаги тўлқин функсияси классик механик тўлқинлардан тубдан фарқ қиладиган турли талқинларга очиқ бўлган физик ҳодисани тасвирлайди.

Борннинг релятивистик бўлмаган квант механикасидаги статистик талқинида тўлқин функсиясининг квадрат модули, заррачани маълум бир жойда — ёки маълум бир импулсга эга — маълум бир вақтда ўлчаш эҳтимоли зичлиги сифатида талқин этиладиган ва дискрет эркинлик даражалари учун маълум қийматларга эга бўлиши мумкин бўлган ҳақиқий сон. Бу миқдорнинг интеграли, тизимнинг барча эркинлик даражалари бўйича, эҳтимоллик талқинига мувофиқ 1 га тенг бўлиши керак. Тўлқин функсияси қаноатлантириши керак бўлган ушбу умумий талабга нормализация шарти дейилади. Тўлқин функсияси мураккаб қийматли бўлганлиги сабабли, фақат унинг нисбий фазаси ва нисбий катталигини ўлчаш мумкин — унинг қиймати алоҳида ҳолда, ўлчанадиган кузатилувчиларнинг катталиклари ёки йўналишлари ҳақида ҳеч нарса айтмайди; ψ тўлқин функсиясига хос қийматлари ўлчовларнинг мумкин бўлган натижалари тўпламига мос келадиган квант операторларини қўллаш ва ўлчанадиган катталиклар учун статистик тақсимотларни ҳисоблаш керак.

1905-йилда Алберт Эйнштейн фотон частотаси ${\displaystyle f}$ ва унинг энергияси ${\displaystyle E}$ ўртасидаги пропорсионалликни : ${\displaystyle E=hf}$ ва 1916-йилда фотоннинг импулси ${\displaystyle p}$ ва тўлқин узунлиги ${\displaystyle \lambda }$ ўртасидаги мос келадиган муносабат ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$,ни илгари сурди, бу ерда ${\displaystyle h}$ Планк доимийси. 1923-йилда Де Бройл бу муносабатни биринчи бўлиб таклиф қилди ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$, энди уни Де Бройл муносабати деб аталади, муносабат массив зарралар учун амал қилади, асосий ишора Лоренц ўзгармаслиги ва бу квант механикасининг замонавий ривожланиши учун бошланғич нуқта сифатида қаралиши мумкин. Тенгламалар ҳам массасиз, ҳам массив зарралар учун тўлқин-заррача дуализминини ифодалайди.

1920—1930-йилларда квант механикаси ҳисоб ва чизиқли алгебра ёрдамида ишлаб чиқилган. Ҳисоблаш техникасидан фойдаланганлар орасида Луи де Бройл, Эрвин Шредингер ва бошқалар бор эди, улар „тўлқин механикаси“ ни ривожлантирдилар. Чизиқли алгебра усулларини қўллаганлар орасида Вернер Гейзенберг, Макс Борн ва бошқалар „матрица механикаси“ни ишлаб чиқдилар. Кейинчалик Шредингер бу икки ёндашув эквивалент эканлигини кўрсатди. 1926-йилда Шредингер ҳозир унинг номи билан аталган машҳур тўлқин тенгламаси, Шредингер тенгламасини нашр этди. Бу тенглама квант операторлари ва де Бройл муносабатларидан фойдаланган ҳолда энергиянинг классик сақланишига асосланган ва тенгламанинг ечимлари квант тизими учун тўлқин функсиялари ҳисобланади. Бироқ, ҳеч ким уни қандай талқин қилишни аниқ билмас эди. Дастлаб Шредингер ва бошқалар тўлқин функсиялари тўлқин функсияси катта бўлган заррачаларнинг кўп қисми тарқаладиган зарраларни ифодалайди, деб ўйлашган. Бу тўлқин пакетининг (заррачани ифодаловчи) нишондан эластик тарқалиши билан мос келмаслиги кўрсатилган; у ҳар томонга тарқалади. Тарқалган заррача исталган йўналишда сочилиши мумкин бўлса-да, у парчаланмайди ва ҳар томонга учиб кетмайди. 1926-йилда Борн эҳтимоллик амплитудаси тушунчасини тақдим этди. Бу квант механикаси ҳисобларини тўғридан-тўғри эҳтимоллик экспериментал кузатишлар билан боғлайди. У квант механикасини Копенгаген талқинининг бир қисми сифатида қабул қилди. Квант механикасининг бошқа кўплаб талқинлари мавжуд. 1927-йилда Хартри ва Фок бир-жинсли тўлқини функсиясини ечишга уринишда биринчи қадамни қўйишди ва ��з-узлуксизлик сиклини ишлаб чиқдилар: ечимга яқинлашиш учун итератив алгоритм. Ҳозирда у Хартри-Фок усули сифатида ҳам танилган. Слейтер детерминанти ва доимий (матрицанинг бо'лаги) Жон C. Слатер томонидан тақдим этилган усулнинг бир қисми эди.

Шредингер релятивистик бўлмаган тенгламани нашр этишдан олдин энергия айланишини мантиқий жиҳатдан қондирадиган тўлқин функсияси учун тенгламага дуч келди, лекин манфий эҳтимолликлар ва манфий энергияни башорат қилгани учун уни рад этди. 1927-йилда Клеин, Гордон ва Фок ҳам уни топдилар, аммо электромагнит ўзаро таъсирни ўз ичига олдилар ва унинг Лорентз инвариантлигини исботладилар. Де Бройл ҳам худди шу тенгламага 1928-йилда келган. Ушбу релятивистик тўлқин тенгламаси ҳозирда Клеин-Гордон тенгламаси сифатида танилган. 1927-йилда Паули феноменологик жиҳатдан электромагнит майдонлардаги спин-1/2 заррачаларни тасвирлаш учун релятивистик бўлмаган тенгламани топди, бу ҳозирда Паули тенгламаси деб аталади. Паули тўлқин функсияси фазо ва вақтнинг ягона комплекс функсияси билан тавсифланмаганлигини, лекин фермионнинг спини +1/2 ва −1/2 бўлган ҳолатларига мос келадиган иккита комплекс сонга эҳтиёж борлигини аниқлади. Кўп ўтмай, 1928-йилда Дирак электронга қўлланиладиган махсус нисбийлик ва квант механикасининг биринчи муваффақиятли бирлашувидан тенгламани топди ва бу ҳозирда Дирак тенгламаси деб аталади. Бунда тўлқин функсияси тўртта мураккаб қийматли компонентлар билан ифодаланган спинордир иккита электрон учун ва иккитаси электроннинг антизарраси, позитрон учун. Релятивистик бўлмаган чегарада Дирак тўлқин функсияси электрон учун Паули тўлқин функсиясига ўхшайди. Кейинчалик бошқа релятивистик тўлқин тенгламалари топилди.

Ушбу тўлқин тенгламаларининг барчаси доимий аҳамиятга эга. Шредингер тенгламаси ва Паули тенгламаси кўп ҳолларда релятивистик вариантларнинг ажойиб яқинлашувидир. Уларни амалий масалаларда ҳал қилиш релативистик ўхшашларига қараганда анча осон.

Клеин-Гордон тенгламаси ва Дирак тенгламаси релятивистик бўлишига қарамай, квант механикаси ва махсус нисбийлик назариясининг тўлиқ мос келишини англатмайди. Ушбу тенгламалар Шредингер тенгламаси каби ўрганиладиган квант механикаси бўлими кўпинча релятивистик квант механикаси деб аталади, лекин жуда муваффақиятли бўлиши билан бирга, ўз чекловларига (масалан, қаранг. Ламб шифт) ва концептуал муаммолар (масалан, қаранг Дирак денгизи) га эга.

Нисбийлик тизимидаги заррачалар сони доимий эмаслигини муқаррар қилади. Тўлиқ ярашиш учун квант майдон назарияси керак. Ушбу назарияда тўлқин тенгламалари ва тўлқин функсиялари ўз ўрнига эга, аммо бироз бошқача кўринишда. Асосий қизиқиш об’эктлари тўлқин функсиялари эмас, балки Гилберт ҳолатлар фазосидаги майдон операторлари (ёки „оператор“ тушуниладиган майдонлар) деб аталадиган операторлардир (кейинги бўлимда тасвирланади). Маълум бўлишича, Ҳилберт фазосини қуриш учун дастлабки релятивистик тўлқин тенгламалари ва уларнинг ечимлари ҳали ҳам зарур. Бундан ташқари, эркин майдонлар операторлари, яъни ўзаро таъсирлар мавжуд эмас деб ҳисобланганда, кўп ҳолларда майдонлар (тўлқин функсиялари) билан бир хил тенгламани (расмий равишда) қондиради.

Бу эркин майдон тенгламалари учун амал қилади; ўзаро таъсирлар киритилмаган. Агар Лагранжиан зичлиги (шу жумладан ўзаро таъсирлар) мавжуд бўлса, у ҳолда Лагранж формализми классик даражадаги ҳаракат тенгламасини беради. Бу тенглама жуда мураккаб бўлиши мумкин ва уни ҳал қилиш мумкин эмас. Ҳар қандай ечим заррачаларнинг қатъий сонига ишора қилади ва оддий „биринчи квантланган“ квант назариясидаги каби ташқи потенциалларни эмас, балки зарраларни яратиш ва йўқ қилишни ўз ичига олган ушбу назарияларда айтилган „ўзаро таъсир“ атамасини ҳисобга олмайди.

Стринг назариясида вазият ўхшашлигича қолмоқда. Масалан, импулс фазосидаги тўлқин функсияси кескин аниқланмаган импулсли заррачанинг (торнинг) умумий ҳолатида Фуре кенгайиш коэффициэнти ролини ўйнайди.

Заррачанинг ҳолати унинг тўлқин функсияси ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ билан тўлиқ тавсифланади, бу ерда х — координата ва т — вақт. Бу х ва т иккита ҳақиқий ўзгарувчиларнинг комплекс қийматли функсиясидир.

Бир ўлчамли фазодаги якка спинсиз заррача учун, агар тўлқин функсияси эҳтимоллик амплитудаси сифатида талқин қилинса, тўлқин функсиясининг квадрат модули, ижобий ҳақиқий сон бўлиб, $${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=p(x,t),}$$ зарранинг х да бўлиш эҳтимоли зичлиги сифатида талқин қилинади. Юлдузча мураккаб қўшмасини билдиради. Агар заррачанинг жойлашуви аниқланса, унинг жойлашишини тўлқин функсиясидан аниқлаш мумкин эмас, лекин эҳтимоллик тақсимоти билан тавсифланади.

Унинг х позициясининг а ≤ х ≤ б оралиғида бўлиш эҳтимоли бу оралиқдаги зичликнинг интегралидир: $${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$$ бу ерда т — заррача ўлчанган вақт. Бу нормировка шартига олиб келади: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$$ чунки агар заррача ўлчанса, унинг бирор жойда бўлиш эҳтимоли 100 % га тенг.

Берилган тизим учун барча мумкин бўлган нормализация қилинадиган тўлқин функсиялари тўплами (ҳар қандай вақтда) мавҳум математик вектор фазосини ҳосил қилади, яъни турли хил тўлқин функсияларини бир-бирига қўшиш ва тўлқин функсияларини комплекс рақамларга кўпайтириш мумкин (қаранг: вектор фазосига қаранг). тафсилотлар). Техник жиҳатдан, нормализация шарти туфайли, тўлқин функсиялари оддий вектор фазодан кўра проектив фазони ҳосил қилади. Бу вектор фазоси чексиз ўлчовли, чунки ҳар қандай мумкин бўлган функсияни яратиш учун турли комбинацияларда бир-бирига қўшилиши мумкин бўлган чекли функсиялар тўплами йўқ. Бундан ташқари, бу Гилберт фазосидир, чунки иккита тўлқин функсияларининг ички маҳсулоти р Ψ₁ ва р Ψ₂ комплекс сон (т вақтида) сифатида аниқланиши мумкин.$${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)dx.}$$Икки тўлқин функсиясининг ички йиғиндиси комплекс сон бўлса-да, тўлқин функсиясининг Ψ билан ички йиғиндиси, $${\displaystyle \Psi =\sum _{n}a_{n}\Psi _{n}\,,\quad a_{n}={\frac {(\Psi _{n},\Psi )}{(\Psi _{n},\Psi _{n})}}}$$

har doim musbat haqiqiy son.

Агар (Ψ, Ψ) = 1 бўлса, у ҳолда Ψ. Агар Ψ бўлса, у ҳолда унинг нормасига бўлиш нормаланган функсияни беради. Икки тўлқин функсияси р Ψ₁ ва р Ψ₂ ортогонал бўлади, агар (Ψ₁, Ψ₂) = 0 бўлса. Агар улар нормаллаштирилган ва ортогонал бўлса, улар ортонормалдир. Тўлқин функсияларининг ортогоналлиги (шунинг учун ҳам ортонормаллиги) тўлқин функсиялари қондириши керак бўлган зарурий шарт эмас, лекин кўриб чиқиш жуда фойдали, чунки бу функсияларнинг чизиқли мустақиллигини кафолатлайди.