二項式定理(英語:Binomial theorem),又稱牛頓二項式定理,由艾薩克·牛頓於1664年、1665年間提出。該定理給出兩個數之和的整數次冪諸如展開為類似項之和的恆等式。二項式定理可以推廣到任意實數次冪,即廣義二項式定理。
基本介紹
- 中文名:二項式定理
- 外文名:Binomial theorem
- 別稱:牛頓二項式定理
- 主要貢獻者:艾薩克·牛頓
- 最早研究時間:1664~1665年
- 適用領域範圍:代數學
發展簡史,定理定義,二項式的矩陣形式,驗證推導,定理推廣,定理意義,套用例子,
發展簡史
二項式定理最初用於開高次方。在中國,成書於1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的一般程式。11世紀中葉,賈憲在其《釋鎖算書》中給出了“開方作法本原圖”(如圖1),滿足了三次以上開方的需要。此圖即為直到六次冪的二項式係數表,但是,賈憲並未給出二項式係數的一般公式,因而未能建立一般正整數次冪的二項式定理。13世紀,楊輝在其《詳解九章算法》中引用了此圖,並註明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。賈憲的著作已經失傳,而楊輝的著作流傳至今,所以今稱此圖為“賈憲三角”或“楊輝三角”。14世紀初,朱世傑在其《四元玉鑒》中復載此圖,並增加了兩層,添上了兩組平行的斜線(如圖2)。![二項式定理 二項式定理](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/4/21f/nBnauYmZ3I2Y1czYhJTNzATNyUWZ1Y2NxkTMzADM2IWOzUDZzQmNzU2Y0EzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
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在阿拉伯,10世紀,阿爾 ·卡拉吉已經知道二項式係數表的構造方法:每一列中的任一數等於上一列中同一行的數加上該數上面一數。11~12世紀奧馬海牙姆將印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次,因而研究了高次二項展開式。13世紀納綏爾丁在其《算板與沙盤算法集成》中給出了高次開方的近似公式,並用到了二項式係數表。15世紀,阿爾 ·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法,並給出了直到九次冪的二項式係數表,還給出了二項式係數表的兩術書中給出了一張二項式係數表,其形狀與賈憲三角一樣。16世紀,許多數學家的書中都載有二項式係數表。1654年,法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次冪的二項式定理,因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年,英國的牛頓將二項式定理推廣到有理指數的情形。18世紀,瑞士的歐拉和義大利的卡斯蒂隆分別採用待定係數法和“先異後同”的方法證明了實指數情形的二項式定理。
定理定義
根據此定理,可以將x+y的任意次冪展開成和的形式
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二項式的矩陣形式
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驗證推導
考慮用數學歸納法。
當
時,則![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/2/c33/89b5c41d3f172e823fdcb612312b.jpg)
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假設二項展開式在
時成立。
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設
,則有:
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定理推廣
牛頓廣義二項式定理
二項式定理可以推廣到對任意實數次冪的展開。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/b/736/b06029e0a2d65de67a9e0eb0e89f.jpg)
其中
。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/0/894/fec834296f4d91dca6d22484c0ae.jpg)
牛頓二項式擴充定理
設函式:![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/1/81f/a8f466dda88245a151c567a9ce03.jpg)
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![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/7/4a3/37ca1e0ad90b0723be670f6c61bf.jpg)
根據二項式定理得F(x)的任意一項為:
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/e/180/aade17fe58e9180ade5ff2a784ed.jpg)
同理上式中的任意一項為
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/4/9c7/b071bc091cdf35a20c5d58446b90.jpg)
如此類推我們預知最後一項存在;
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/b/74e/edcba7540255a8db0c59b90570c5.jpg)
那么我們得到其中
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/8/5b3/61ee454a9591fb82342b7299a9f0.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/1/f82/a572033d30d5045c5432cd6d4897.jpg)
設M=0+j+....+q+p+m而且
項的係數為AM
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/6/38e/419d4bce6d91b390ea54e07d8085.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/9/e66/02e15a65875c69f79cf216f6837d.jpg)
當x=1時,這就是多項式定理
二項式定理推廣至n為負數
二項式定理的一個常用形式為
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/5/27a/80a317c950339a7a2f785e9c653d.jpg)
考慮到組合數的性質,上式可以改寫為
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/e/7bc/33d8796c62159310d4d4bea292d5.jpg)
(n>0)
我們猜想當上式中左邊的指數為負整數時公式
依然成立,即
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/f/314/2f0c12d7b47b64f6f1572e8088bb.jpg)
(n>0)
上式的正確性可以很容易地加以驗證。同理,二項式定理也可以推廣到非整數���數的情況。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/5/ac6/2cf5cd833f49603b1c21197301ff.jpg)
上面的結果與牛頓二項式展開完全一致。
定理意義
這個定理在遺傳學中也有其用武之地,具體套用範圍為:推測自交後代群體的基因型和機率、推測自交後代群體的表現型和機率、推測雜交後代群體的表現型分布和機率、通過測交分析雜合體自交後代的性狀表現和機率、推測夫妻所生孩子的性別分布和機率、推測平衡狀態群體的基因或基因型頻率等。
套用例子
證明組合恆等式
二項式定理給出的係數可以視為組合數
的另一種定義。 因此二項式展開與組合數的關係十分密切。 它常常用來證明一些組合恆等式。
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比如證明
,可以考慮恆等式
。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/9/05c/276794b4e2e379d1f5448821e869.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/c/cdb/bd6f4de37c14a758d1c3cf03d268.jpg)
展開等式左邊得到:
。 注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/d/ac0/32c8b359c06124a98c44d19e5c4d.jpg)
同時如果展開等式右邊可以得到
。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/e/748/9bd9c473b0736fd3bc7179171936.jpg)
比較兩邊冪次位的項的係數可以得到:
。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/7/67e/82d93124d7811a744e4e0b33c0cc.jpg)
令
,並注意到
即可得到所要證明的結論。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/9/8eb/746d2c3fff80992f5c5855a9b12f.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/6/6ae/dbbd32bd660da3a08bd2a56d8a45.jpg)
證明自然數冪求和公式
公式具體內容:![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/d/b06/23d4f0dbab14116c0c15e3436d6f.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/d/b06/23d4f0dbab14116c0c15e3436d6f.jpg)
當n為奇數時,由1+2+3+4+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或減去所有添加的二項式展開式數
=(1+N)N減去所有添加的二項式展開式數。
當n為偶數時,由1+2+3+4+5+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+[4+(N-4)]...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數
又當n為偶數時,由1+2+3+4+5+6+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數,合併n為偶數時2S的兩個計算結果,可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的計算公式。