鄰域是集合上的一種基礎的拓撲結構。有鄰域公理(鄰域公理是現代數學拓撲結構的基礎概念)、開鄰域和閉鄰域、去心鄰域等的研究著作。
基本介紹
- 中文名:鄰域
- 外文名:neighbourhood
- 相關套用:鄰域公理
- 相關概念:去心鄰域、開鄰域、閉鄰域
- 適用範圍:數理科學
初等定義,鄰域公理,內容,含義,開鄰域和閉鄰域,結論,
初等定義
鄰域是一個特殊的區間,以點a為中心點任何開區間稱為點a的鄰域,記作U(a)。
點a的δ鄰域:設δ是一個正數,則開區間(a-δ,a+δ)稱為點a的δ鄰域,記作
,點a稱為這個鄰域的中心,δ稱為這個鄰域的半徑。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/7/e5c/878de400967448d46ea3c9367a2c.jpg)
由於
相當於
,因此,
表示與點a的距離小於δ的一切點x的全體。
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/3/9ae/39e144c7fdcc836797972b6707f2.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/c/5da/3ac1069d8640b03dd4e4b1e01125.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/e/561/780b4b378995c7035288616f8e02.jpg)
點a的去心δ鄰域:有時用到的鄰域需要把鄰域中心去掉,點a的δ鄰域去掉中心a後,稱為點a的去心δ鄰域,記作
(表達方法是在U上標一個小的0),即
,這裡
表示
。有時把開區間(a - δ, a)稱為a的左δ鄰域,把開區間(a, a + δ)稱為a的右δ鄰域。
鄰域
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/8/3c4/0c628a8c051dad21f926f568f97c.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/4/a8a/85d36fbbc84182ded508e73314d9.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/7/630/e181d01ff1e421ec8350732eeff3.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/0/ec3/57a44292595c601ffc4701876c2a.jpg)
![鄰域 鄰域](http://178.128.105.246/cars-https-www.newton.com.tw/img/6/f7a/cGcq5COxImYyEDOzIGNkBzM3U2MzADOlFDZiRzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
鄰域公理
內容
給定集合X,映射U:X→P(P(X))(其中P(P(X))是X的冪集的冪集),U將X中的點x映射到X的子集族U(x)),稱U(x)是X的鄰域系以及U(x)中的元素(即X的子集)為點x的鄰域,若且唯若U滿足以下的鄰域公理:
- U1:若集合A∈U(x),則x∈A。
- U2:若集合A,B∈U(x),則A∩B∈U(x)。
- U3:若集合A∈U(x),且A ⊆ B ⊆ X,則B∈U(x)。
- U4:若集合A∈U(x),則存在集合B∈U(x),使B ⊆ A,且∀y∈B,B∈U(y)。
含義
- U1:若A是x的鄰域,則x屬於A。這是顯然的。
- U2:若A和B都是x的鄰域,則A和B的交集也是x的鄰域。即鄰域對於有限交運算封閉。
- U3:若A是x的鄰域,則所有包含A的集合都是x的鄰域。
- U4:若A是x的鄰域,則存在一個被A包含的集合B(可以相等),使得B是其中所有點的鄰域。換言之,若x有一個鄰域,那么一定可以將其縮小,縮小到它是其中所有點的鄰域。更關鍵的,這樣的鄰域若且唯若它是X中的開集,這也是鄰域公理為何等價於開集公理,從而可以通過它定義X上拓撲的原因。
開鄰域和閉鄰域
若x的鄰域同時是X中的開集,稱其為x的開鄰域;若它同時是X中的閉集則稱其為x的閉鄰域。