Approssimazione per angoli piccoli

L'approssimazione per angoli piccoli consiste nel semplificare le funzioni trigonometriche di base a funzioni più semplici quando l'angolo è molto piccolo e tende a zero. L'approssimazione si basa sugli sviluppi di Taylor-MacLaurin troncati al secondo ordine. Si ha:[1][2]

Comportamento simile di alcune funzioni (trigonometriche) per x tendente a 0.

dove è l'angolo in radianti.

Questa approssimazione è utile in molti ambiti di fisica e di ingegneria, tra cui meccanica, elettromagnetismo, ottica, e così via.

Spiegazione

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Grafica

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Geometrica

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La parte in rosso,  , è la differenza tra l'ipotenusa   e il cateto   Questa differenza è piccola e, poiché  , si ha che il coseno è molto vicino a 1 e più precisamente

 

L'altro cateto,  , è circa uguale all'arco in blu,  . Per la definizione di radiante, si ha

 

Poiché inoltre

 

e dalla figura è facile notare come   e  , si giunge dunque alla seguente conclusione.

 

Algebrica

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Approssimazione per piccoli angoli della funzione seno.

Gli sviluppi in serie di MacLaurin delle funzioni trigonometriche sono i seguenti:[3]

 
 
 

Nel primo caso, si nota che già il secondo termine decresce come il cubo del primo; quindi per valori abbastanza vicini a zero, come 0,01, il secondo termine e i successivi diventano molto piccoli, quindi trascurabili:

 

Pertanto, il seno di un angolo piccolo può essere approssimato al primo termine, cioè all'angolo stesso. Lo stesso ragionamento può essere applicato anche al coseno e alla tangente; ne segue che il coseno di un angolo piccolo è circa 1 e la tangente, rapporto tra seno e coseno, per angoli piccoli si comporta come il rapporto tra un angolo e 1; in conclusione, si hanno le seguenti equivalenze asintotiche:

 

Analisi

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Si può dimostrare, con il teorema del confronto, che[4]

 

Allora si può dire che, per  :

 

Le precedenti approssimazioni si possono esprimere anche come

 

Errori nell'approssimazione

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Figura 3. Grafico degli errori relativi dell'approssimazione per angoli piccoli.

La figura 3 mostra gli errori relativi dovuti a questa approssimazione. Gli angoli ai quali l'errore relativo supera l'1% sono i seguenti:

 

Utilizzi specifici

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Moto di un pendolo

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L'approssimazione del seno consente di semplificare il calcolo del periodo di un pendolo semplice. Ciò rende il moto del pendolo un moto armonico semplice.

  1. ^ (EN) Charles H. Holbrow e al., Modern Introductory Physics, 2ª ed., Springer Science & Business Media, 2010, pp. 30-32, ISBN 0387790799.
  2. ^ (EN) Micheal Plesha et al., Engineering Mechanics: Statics and Dynamics, 2ª ed., McGraw-Hill Higher Education, 2012, p. 12, ISBN 0077570618.
  3. ^ (EN) Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, Wiley, 2006, p. 26, ISBN 978-0-471-19826-0.
  4. ^ (EN) Ron Larson et al., Calculus of a Single Variable: Early Trascendental Functions, 4ª ed., Cengage Learning, 2006, p. 85, ISBN 0618606254.

Bibliografia

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  • Tom Apostol, Calcolo 1, 9ª ed., Bollati Boringhieri, 1987 [1977], ISBN 88-339-5033-6.

Collegamenti esterni

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